ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 447 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что числа \(a\) и \(b\) натуральные. Является ли натуральным число:
а) \(a + b\);
б) \(a — b\);
в) \(ab\);
г) \(\frac{a}{b}\)?

а) \(a + b\) — является натуральным числом, так как сумма двух натуральных чисел всегда натуральна.

б) \(a — b\) — не является натуральным числом, так как разность двух натуральных чисел может быть отрицательной или нулём, что не входит в множество натуральных чисел.

в) \(ab\) — является натуральным числом, так как произведение двух натуральных чисел всегда натурально.

г) \(\frac{a}{b}\) — не является натуральным числом, так как частное двух натуральных чисел не обязательно натурально (может быть дробным).

а) Рассмотрим сумму (a + b), где (a) и (b) — натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которые используются для счёта и начинаются с единицы: 1, 2, 3 и так далее. При сложении двух натуральных чисел результат всегда остаётся в множестве натуральных чисел, потому что сумма положительных целых чисел не может стать отрицательной или дробной. Например, если (a = 3), а (b = 5), то (a + b = 8), что также является натуральным числом.

Это свойство суммы обусловлено определением натуральных чисел и аксиомами арифметики, согласно которым операция сложения замкнута в множестве натуральных чисел. Таким образом, независимо от конкретных значений (a) и (b), сумма (a + b) всегда будет натуральным числом, если оба слагаемых натуральны.

б) Теперь рассмотрим разность (a — b), где (a) и (b) — натуральные числа. В отличие от сложения, операция вычитания не гарантирует, что результат останется в множестве натуральных чисел. Если (a) меньше (b), то (a — b) будет отрицательным числом, а отрицательные числа не относятся к натуральным. Например, при (a = 3) и (b = 5) разность (a — b = 3 — 5 = -2), что не является натуральным числом.

Даже если (a) больше (b), разность может равняться нулю, а ноль обычно не считается натуральным числом в классическом определении. Следовательно, нельзя утверждать, что (a — b) всегда натурально, и поэтому (a — b) не является натуральным числом в общем случае.

в) Рассмотрим произведение (ab), где (a) и (b) — натуральные числа. Произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом, поскольку умножение натуральных чисел замкнуто в множестве натуральных чисел. Например, если (a = 4) и (b = 6), то (ab = 24), что также натурально.

Это связано с тем, что умножение можно рассматривать как повторное сложение, а так как сложение натуральных чисел даёт натуральное число, то и умножение сохраняет это свойство. Поэтому произведение (ab) всегда будет натуральным числом при натуральных (a) и (b).

г) Рассмотрим дробь (frac{a}{b}), где (a) и (b) — натуральные числа, и (b \neq 0). Частное двух натуральных чисел не обязательно является натуральным числом, поскольку результат может быть дробным или нецелым числом. Например, если (a = 3) и (b = 2), то (frac{a}{b} = frac{3}{2} = 1.5), что не является натуральным числом.

Только в случае, если (b) делит (a) без остатка, результат будет натуральным числом, но в общем случае это не гарантировано. Поэтому утверждение, что (frac{a}{b}) является натуральным числом, неверно, и (frac{a}{b}) не является натуральным числом в общем случае.