ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 448 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что числа \(a\) и \(b\) целые. Является ли целым числом:
а) \(a + b\);
б) \(a — b\);
в) \(ab\);
г) \(\frac{a}{b}\) (\(b \neq 0\))?

а) \( a + b \) — является целым числом, значит сумма двух чисел \( a \) и \( b \) принадлежит множеству целых чисел \( \mathbb{Z} \).

б) \( a — b \) — является целым числом, значит разность двух чисел \( a \) и \( b \) принадлежит множеству целых чисел \( \mathbb{Z} \).

в) \( ab \) — является целым числом, значит произведение \( a \) и \( b \) принадлежит множеству целых чисел \( \mathbb{Z} \).

г) \(\frac{a}{b}\) — не является целым числом, значит дробь \( \frac{a}{b} \notin \mathbb{Z} \).

а) Если сумма двух чисел (a + b) является целым числом, это означает, что при сложении чисел (a) и (b) результат относится к множеству целых чисел (Z). Для того чтобы сумма была целым числом, достаточно, чтобы оба слагаемых были либо целыми, либо чтобы их дробные части взаимно компенсировались. Например, если (a) и (b) — рациональные числа с одинаковыми дробными частями, сумма может быть целым числом. Но в общем случае, если (a + b) ∈ (Z), то мы можем утверждать, что сумма не содержит дробной части и выражается целым числом.

Это свойство важно, потому что сумма целых чисел всегда целое число, а если (a) и (b) — нецелые, то их сумма может быть целым числом только в особых случаях. Таким образом, условие (a + b) ∈ (Z) накладывает ограничение на значения (a) и (b), которые могут быть либо одновременно целыми, либо таковыми, что их сумма целая. Это позволяет сделать выводы о характере чисел (a) и (b) в зависимости от контекста задачи.

б) Аналогично, если разность (a − b) является целым числом, то при вычитании числа (b) из числа (a) результат принадлежит множеству целых чисел (Z). Это значит, что разность не имеет дробной части, и мы можем рассматривать (a) и (b) как такие числа, у которых либо обе части целые, либо дробные части взаимно компенсируются. Например, если (a) и (b) — рациональные числа с одинаковыми дробными частями, то их разность будет целым числом.

Данное условие также накладывает ограничения на значения (a) и (b), поскольку только при определённых соотношениях между ними разность может быть целой. Если (a − b) ∈ (Z), то можно сделать вывод, что числа связаны таким образом, что их разница — целое число, что важно для решения уравнений и неравенств, где необходимо учитывать целочисленность результата.

в) Если произведение (ab) является целым числом, это означает, что при умножении чисел (a) и (b) результат принадлежит множеству целых чисел (Z). Произведение целых чисел всегда целое число, но если (a) и (b) — нецелые, произведение может быть целым лишь в некоторых случаях, например, если дробные части перемножаются так, что дают целое число. Это условие указывает на то, что либо оба множителя целые, либо произведение дробных частей компенсируется.

Такое свойство полезно для анализа числовых выражений и упрощения формул, когда известно, что произведение целое. Оно позволяет делать выводы о характере множителей и о том, как они взаимодействуют, чтобы результат оказался целым числом. Это особенно важно в теории чисел и при решении задач, связанных с делимостью.

г) Если дробь (frac a b) не является целым числом, значит результат деления (a) на (b) не принадлежит множеству целых чисел (Z). Это означает, что либо (a) не делится на (b) без остатка, либо (a) и (b) таковы, что частное содержит дробную часть. Важно понимать, что для целочисленного результата деления необходимо, чтобы (b) был делителем (a), то есть (a = k b), где (k) — целое число.

Отрицание целочисленности дроби (frac a b) указывает на наличие остатка или дробной части при делении, что часто используется для анализа делимости и свойств чисел. Это условие помогает определить, что (a) и (b) не находятся в отношении целочисленного деления, что важно при решении задач, где требуется точное представление результата.