ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 449 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что числа \(a\) и \(b\) рациональные. Является ли рациональным число:
а) \(a + b\);
б) \(a — b\);
в) \(ab\);
г) \(\frac{a}{b}\) (\(b \neq 0\))?

а) \( a + b \) является рациональным числом, так как сумма рациональных чисел рациональна.

б) \( a — b \) является рациональным числом, так как разность рациональных чисел рациональна.

в) \( ab \) является рациональным числом, так как произведение рациональных чисел рационально.

г) \(\frac{a}{b}\) является рациональным числом, так как частное рациональных чисел (при \( b \neq 0 \)) рационально.

а) Рассмотрим выражение (a + b), где (a) и (b) — числа. Если (a + b) является рациональным числом, это означает, что сумма двух чисел (a) и (b) может быть выражена в виде дроби с целыми числителями и знаменателями. Для того чтобы (a + b) было рациональным, достаточно, чтобы оба слагаемых либо были рациональными, либо их сумма каким-то образом давала рациональное число. Например, если (a) — рациональное число, а (b) — иррациональное, то сумма, как правило, будет иррациональной, за исключением особых случаев, когда (b) компенсирует (a).

Таким образом, утверждение, что (a + b) является рациональным числом, подразумевает определённые свойства чисел (a) и (b). Если известно, что (a + b) рационально, то можно делать выводы о взаимосвязи (a) и (b), например, если одно из них иррационально, то другое должно быть таким, чтобы их сумма была рациональной. Это важное свойство для решения задач, связанных с рациональностью чисел и операциями над ними.

б) Рассмотрим выражение (a — b), где (a) и (b) — числа. Если (a — b) является рациональным числом, то разность этих чисел может быть представлена в виде дроби с целыми числителем и знаменателем. Аналогично сумме, разность рациональных чисел всегда рациональна, а если одно из чисел иррационально, то для того, чтобы разность была рациональной, второе число должно компенсировать иррациональную часть первого.

Это условие можно использовать для нахождения взаимосвязи между (a) и (b). Например, если (a — b) рационально, а (a) известно, то можно выразить (b) через (a) и рациональное число. Этот факт часто применяется в алгебре и теории чисел для доказательства свойств числовых множеств и решения уравнений с рациональными и иррациональными числами.

в) Рассмотрим произведение (ab), где (a) и (b) — числа. Если произведение (ab) является рациональным числом, это означает, что результат умножения двух чисел можно представить в виде дроби с целыми числителем и знаменателем. Для рациональных чисел произведение всегда рационально, но если хотя бы одно из чисел иррационально, произведение может быть как рациональным, так и иррациональным.

Например, если (a) — иррациональное число, но (b) является его обратным (то есть (b = frac 1 a)), то произведение (ab = 1) будет рациональным числом. Таким образом, условие рациональности произведения накладывает ограничения на взаимосвязь между (a) и (b), что важно учитывать при решении задач на рациональность.

г) Рассмотрим выражение (frac a b), где (a) и (b) — числа, и (b не равно 0). Если (frac a b) является рациональным числом, это означает, что частное чисел (a) и (b) можно представить в виде дроби с целыми числителем и знаменателем. Если (a) и (b) — рациональные числа, то и их частное обязательно рационально. Если же (a) или (b) иррациональны, то для того, чтобы (frac a b) было рациональным, необходимо, чтобы иррациональные части компенсировались.

Например, если (a) и (b) имеют одинаковую иррациональную составляющую, которая сокращается при делении, то результат может быть рациональным. Это свойство часто используется в алгебраических преобразованиях и доказательствах, связанных с рациональностью чисел и выражений.