ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 450 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если числа \(x\) и \(y\) чётные, то чётным будет число:
а) \(x — y\);
б) \(xy\);
в) \(3x + y\).

а) \(x — y = 2a — 2b = 2(a — b)\) – четное число.
б) \(xy = 2a \cdot 2b = 4ab\) – четное число.
в) \(3x + y = 3 \cdot 2a + 2b = 6a + 2b = 2(3a + b)\) – четное число.

а) Пусть заданы числа \(x = 2a\) и \(y = 2b\), где \(a\) и \(b\) — целые числа. Это означает, что \(x\) и \(y\) — четные числа, так как они выражены через произведение на 2. Рассмотрим разность \(x — y\). Подставляя выражения, получаем \(x — y = 2a — 2b\). Вынесем общий множитель 2 за скобки: \(2(a — b)\). Поскольку \(a — b\) — целое число, произведение на 2 обязательно будет четным числом. Таким образом, разность двух четных чисел также является четным числом.

Далее, это свойство справедливо для любых целых чисел \(a\) и \(b\), так как операция вычитания сохраняет целочисленность. Следовательно, если оба числа четные, их разность можно представить в виде удвоенного целого числа, что и доказывает четность результата.

б) Теперь рассмотрим произведение чисел \(x\) и \(y\), где \(x = 2a\), \(y = 2b\). Подставляем: \(xy = 2a \cdot 2b\). Перемножая, получаем \(4ab\). Число 4 — это уже четное число, так как оно делится на 2 без остатка. Произведение \(ab\) — целое число, так как \(a\) и \(b\) целые. Значит, произведение \(xy\) можно представить как 4, умноженное на целое число, что гарантирует, что \(xy\) — четное число.

Это показывает, что произведение двух четных чисел всегда четно, так как в произведении содержится множитель 2 как минимум в квадрате (здесь 4), что делает итоговое число делящимся на 2.

в) Рассмотрим выражение \(3x + y\) при \(x = 2a\) и \(y = 2b\). Подставляя, получаем \(3 \cdot 2a + 2b = 6a + 2b\). Вынесем общий множитель 2 за скобки: \(2(3a + b)\). Поскольку \(3a + b\) — целое число, произведение на 2 обязательно будет четным числом.

Таким образом, сумма \(3x + y\), где \(x\) и \(y\) — четные числа, также является четным числом, так как она представляется в виде удвоенного целого числа. Это подтверждает, что линейная комбинация с целыми коэффициентами от четных чисел сохраняет четность результата.