ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 455 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что число \(a\) рациональное, а число \(b\) иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным число:
а) \(a + b\);
б) \(a — b\)?

а) (a + b) — иррациональное число, если хотя бы одно из чисел (a) или (b) иррационально и их сумма не сокращается до рационального. Например, если (a) — иррациональное, а (b) — рациональное, то (a + b) — иррациональное.

б) (a — b) — иррациональное число при тех же условиях: если (a) иррационально, а (b) рационально, то (a — b) остаётся иррациональным, так как рациональное число не может компенсировать иррациональность (a).

а) Рассмотрим выражение (a + b), где (a) и (b) — числа. Если утверждается, что (a + b) — иррациональное число, это означает, что сумма этих чисел не может быть выражена в виде дроби двух целых чисел. Чтобы понять, почему сумма может быть иррациональной, нужно учесть свойства рациональных и иррациональных чисел. Если хотя бы одно из слагаемых — иррациональное число, то при сложении с рациональным числом результат, как правило, иррационален, за исключением частных случаев (например, когда иррациональное число и его противоположное складываются).

В более общем случае, если (a) и (b) — два иррациональных числа, то их сумма может быть как рациональной, так и иррациональной. Однако в условии явно сказано, что (a + b) — иррациональное число, что подразумевает определённые свойства этих чисел. Например, если (a) — иррациональное число, а (b) — рациональное, то (a + b) будет иррациональным, так как рациональное слагаемое не способно «сгладить» иррациональность (a). Это связано с тем, что рациональные числа образуют поле, а иррациональные — нет, и сумма рационального и иррационального числа всегда иррациональна.

б) Аналогично рассмотрим разность (a — b). Если утверждается, что (a — b) — иррациональное число, то это значит, что результат вычитания двух чисел не может быть представлен в виде дроби с целыми числителями и знаменателями. Как и в случае с суммой, если (a) — иррациональное число, а (b) — рациональное, то разность (a — b) будет иррациональной, поскольку рациональное число не изменяет иррациональность (a). В случае, когда оба числа иррациональны, разность может быть как рациональной, так и иррациональной, в зависимости от конкретных значений.

Для понимания этого факта полезно вспомнить, что множество рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания, то есть сумма или разность рациональных чисел всегда рациональна. Однако если в операции участвует иррациональное число, то результат, как правило, становится иррациональным, поскольку рациональное число не способно компенсировать «невыразимость» иррационального числа в виде дроби. Таким образом, утверждение о том, что (a — b) — иррациональное число, отражает фундаментальное свойство числовых множеств.