ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 459 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение \(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2\).

\[
\sqrt{1 + \sqrt{2} + \sqrt{x}} = 2
\]

\[
\left( \sqrt{1 + \sqrt{2} + \sqrt{x}} \right)^2 = 2^2
\]

\[
1 + \sqrt{2} + \sqrt{x} = 4
\]

\[
\sqrt{2} + \sqrt{x} = 3
\]

\[
\left( \sqrt{2} + \sqrt{x} \right)^2 = 3^2
\]

\[
2 + \sqrt{x} = 9
\]

\[
\sqrt{x} = 7
\]

\[
x = 49
\]

Рассмотрим уравнение \(\sqrt{1 + \sqrt{2} + \sqrt{x}} = 2\). Для того чтобы избавиться от внешнего квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. Получим:

\((\sqrt{1 + \sqrt{2} + \sqrt{x}})^2 = 2^2\).

Левая часть упрощается до \(1 + \sqrt{2} + \sqrt{x}\), а правая часть равна \(4\). Таким образом, уравнение принимает вид:

\(1 + \sqrt{2} + \sqrt{x} = 4\).

Теперь выразим \(\sqrt{x}\), вычтя из обеих частей уравнения \(1 + \sqrt{2}\):

\(\sqrt{x} = 4 — 1 — \sqrt{2}\).

Упростим правую часть: \(4 — 1 = 3\), поэтому уравнение становится:

\(\sqrt{x} = 3 — \sqrt{2}\).

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, снова возведем обе части уравнения в квадрат:

\((\sqrt{x})^2 = (3 — \sqrt{2})^2\).

Раскроем квадрат разности по формуле \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Подставляем \(a = 3\) и \(b = \sqrt{2}\):

\(x = 3^2 — 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\).

Вычислим каждое слагаемое: \(3^2 = 9\), \((\sqrt{2})^2 = 2\), а \(2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). Подставляем значения:

\(x = 9 — 6\sqrt{2} + 2\).

Упростим выражение, сложив числа: \(9 + 2 = 11\). Таким образом, окончательный ответ:

\(x = 11 — 6\sqrt{2}\).