ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 46 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
a) \(\frac{(2a — 2b)^2}{a — b}\)
б) \(\frac{(3c + 9d)^2}{c + 3d}\)
в) \(\frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y}\)
г) \(\frac{4x^2 — y^2}{(10x + 5y)^2}\)

а) \(\frac{(2a — 2b)^2}{a — b} = \frac{(2(a — b))^2}{a — b} = \frac{4(a — b)^2}{a — b} = 4(a — b) = 4a — 4b\)

б) \(\frac{(3c + 9d)^2}{c + 3d} = \frac{(3 \cdot (c + 3d))^2}{c + 3d} = \frac{9(c + 3d)^2}{c + 3d} = 9(c + 3d) = 9c + 27d\)

в) \(\frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y} = \frac{(3(x + 2y))^2}{5(x + 2y)} = \frac{9(x + 2y)^2}{5(x + 2y)} = \frac{9(x + 2y)}{5} = \frac{9x + 18y}{5}\)

г) \(\frac{4x^2 — y^2}{(10x + 5y)^2} = \frac{(2x — y)(2x + y)}{(5(2x + y))^2} = \frac{(2x — y)(2x + y)}{25(2x + y)^2} = \frac{2x — y}{25(2x + y)} = \frac{2x — y}{50x + 25y}\)

а) В этом выражении мы видим квадрат разности \( (2a — 2b)^2 \), делённый на разность \( a — b \). Сначала выделим общий множитель в числителе: \( 2a — 2b = 2(a — b) \). Тогда квадрат будет равен \( (2(a — b))^2 = 4(a — b)^2 \). Теперь перепишем дробь как \( \frac{4(a — b)^2}{a — b} \). Поскольку в числителе и знаменателе есть общий множитель \( a — b \), можно сократить на него, получая \( 4(a — b) \). Далее раскрываем скобки: \( 4a — 4b \).

Такое сокращение возможно, так как \( a — b \neq 0 \), иначе деление было бы невозможно. Этот приём упрощения выражений с одинаковыми множителями в числителе и знаменателе часто используется для сокращения степеней и упрощения алгебраических выражений.

б) Здесь в числителе стоит квадрат суммы \( (3c + 9d)^2 \), а в знаменателе — выражение \( c + 3d \). Начнём с того, что заметим общий множитель в числителе: \( 3c + 9d = 3(c + 3d) \). Тогда квадрат будет равен \( (3(c + 3d))^2 = 9(c + 3d)^2 \). Подставляя это в дробь, получаем \( \frac{9(c + 3d)^2}{c + 3d} \).

Теперь сокращаем общий множитель \( c + 3d \) в числителе и знаменателе, что даёт \( 9(c + 3d) \). Раскрывая скобки, имеем \( 9c + 27d \). Важно помнить, что сокращать можно только при условии, что \( c + 3d \neq 0 \), иначе выражение не определено.

в) В числителе стоит квадрат суммы \( (3x + 6y)^2 \), а в знаменателе — \( 5x + 10y \). Сначала выделим общий множитель в числителе: \( 3x + 6y = 3(x + 2y) \), тогда квадрат равен \( 9(x + 2y)^2 \). Аналогично в знаменателе выделим общий множитель: \( 5x + 10y = 5(x + 2y) \).

Подставляем в дробь: \( \frac{9(x + 2y)^2}{5(x + 2y)} \). Сокращаем общий множитель \( x + 2y \) в числителе и знаменателе, получается \( \frac{9(x + 2y)}{5} \). Раскрывая скобки, получаем \( \frac{9x + 18y}{5} \).

г) Выражение представляет собой дробь с разностью квадратов в числителе и квадратом суммы в знаменателе: \( \frac{4x^2 — y^2}{(10x + 5y)^2} \). В числителе раскроем разность квадратов: \( 4x^2 — y^2 = (2x)^2 — y^2 = (2x — y)(2x + y) \).

В знаменателе выделим общий множитель: \( 10x + 5y = 5(2x + y) \), тогда квадрат будет \( (5(2x + y))^2 = 25(2x + y)^2 \). Запишем дробь как \( \frac{(2x — y)(2x + y)}{25(2x + y)^2} \).

Сокращаем общий множитель \( 2x + y \) в числителе и знаменателе, остаётся \( \frac{2x — y}{25(2x + y)} \). Раскрывая скобки в знаменателе, получаем \( \frac{2x — y}{50x + 25y} \). Таким образом, дробь упрощена максимально.