ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 461 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Приведите пример уравнения вида \(x^2 = a\), которое:
а) имеет два рациональных корня;
б) имеет два иррациональных корня;
в) не имеет корней.

а) имеет два рациональных корня:
\(x^2 = 9 \quad x = \pm 3\)

б) имеет два иррациональных корня:
\(x^2 = 10 \quad x = \pm \sqrt{10}\)

в) не имеет корней:
\(x^2 = -4\)
корней нет, так как квадрат не может быть отрицательным в действительных числах.

а) Рассмотрим уравнение \(x^2 = 9\). Это квадратное уравнение, корнями которого являются \(x = \pm 3\). Действительно, возводя в квадрат положительное и отрицательное значение \(x\), мы получаем \(x^2 = 9\). Таким образом, данное уравнение имеет два рациональных корня: \(x = 3\) и \(x = -3\).

б) Теперь рассмотрим уравнение \(x^2 = 10\). Это также квадратное уравнение, но на этот раз его корни являются иррациональными числами. Для того, чтобы найти эти корни, нам необходимо извлечь квадратный корень из 10: \(x = \pm \sqrt{10}\). Возводя эти значения \(x\) в квадрат, мы получаем \(x^2 = 10\). Следовательно, данное уравнение имеет два иррациональных корня: \(x = \sqrt{10}\) и \(x = -\sqrt{10}\).

в) Наконец, рассмотрим уравнение \(x^2 = -4\). В этом случае мы сталкиваемся с проблемой, поскольку возведение любого действительного числа в квадрат дает неотрицательный результат. Следовательно, уравнение \(x^2 = -4\) не имеет действительных корней.