Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 462 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Укажите допустимые значения переменной \(x\) в выражении:
а) \(\sqrt[3]{x}\);
б) \(\sqrt[4]{x}\);
в) \(\sqrt{x^2 + 1}\);
г) \(\sqrt{(4 — x)^2}\);
д) \(\sqrt{-x^2}\);
е) \(\sqrt{-x^3}\).
а) \( \sqrt{x^3}, \quad x \geq 0 \)
Корень четной степени определён только для неотрицательных \(x\), поэтому \(x \geq 0\).
б) \( \sqrt{x^4}, \quad x \text{ — любое число} \)
\(x^4 \geq 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), значит корень существует для любого \(x\).
в) \( \sqrt{x^2 + 1}, \quad x \text{ — любое число} \)
Выражение под корнем всегда положительно, так как \(x^2 \geq 0\) и прибавлено 1.
г) \( \sqrt{(4 — x)^2}, \quad x \text{ — любое число} \)
Квадрат любого числа неотрицателен, значит корень существует для всех \(x\).
д) \( \sqrt{-x^2}, \quad x = 0 \)
Подкоренное выражение \( -x^2 \leq 0 \), корень существует только при \(x=0\).
е) \( \sqrt{-x^3}, \quad x \leq 0 \)
Для \(x \leq 0\) выражение \(-x^3 \geq 0\), значит корень существует при \(x \leq 0\).
а) \( \sqrt{x^3}, \quad x \geq 0 \)
Подкоренное выражение \(x^3\) можно представить как \(x^3 = x^2 \cdot x\). При этом \(x^2 \geq 0\) для любого \(x \in \mathbb{R}\), но множитель \(x\) влияет на знак всего выражения. Если \(x < 0\), то \(x^3 < 0\), и тогда корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел. Поэтому область определения функции ограничивается неотрицательными значениями \(x\), то есть \(x \geq 0\).
б) \( \sqrt{x^4}, \quad x \text{ — любое число} \)
Подкоренное выражение \(x^4 = (x^2)^2\) является квадратом квадрата, а значит, всегда неотрицательно. Для любого \(x \in \mathbb{R}\) справедливо \(x^4 \geq 0\). Следовательно, корень четной степени существует для всех значений \(x\), то есть область определения — множество всех действительных чисел.
в) \( \sqrt{x^2 + 1}, \quad x \text{ — любое число} \)
Выражение под корнем \(x^2 + 1\) всегда положительно, так как \(x^2 \geq 0\) для всех \(x\), а прибавка 1 делает сумму строго больше нуля. Значит, подкоренное выражение неотрицательно для всех \(x\), и корень существует при любом \(x \in \mathbb{R}\).
г) \( \sqrt{(4 — x)^2}, \quad x \text{ — любое число} \)
Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Выражение \((4 — x)^2 \geq 0\) для всех \(x\). Следовательно, корень четной степени из \((4 — x)^2\) существует при любом \(x\), то есть область определения — все действительные числа.
д) \( \sqrt{-x^2}, \quad x = 0 \)
Подкоренное выражение \(-x^2\) неотрицательно только при \(x = 0\), так как \(x^2 \geq 0\), а с минусом оно становится \(\leq 0\). Корень четной степени из отрицательного числа не существует, поэтому область определения — единственная точка \(x = 0\).
е) \( \sqrt{-x^3}, \quad x \leq 0 \)
Рассмотрим знак выражения \(-x^3\). При \(x \leq 0\) куб \(x^3 \leq 0\), тогда \(-x^3 \geq 0\). Значит, подкоренное выражение неотрицательно для всех \(x \leq 0\), и корень существует именно при таких \(x\). Область определения — множество \(x \leq 0\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!