ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 463 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) и \(b\) имеет смысл выражение:
а) \(\sqrt{ab}\);
б) \(\sqrt{-ab}\);
в) \(\sqrt{a^2 b}\);
г) \(\sqrt{a^2 b^2}\);
д) \(\sqrt{-a b^2}\);
е) \(\sqrt{-a^2 b^2}\)

а) \( \sqrt{ab} \), если \( a \geq 0, b \geq 0 \), если \( a \leq 0, b \leq 0 \)
б) \( \sqrt{-ab} \), при \( a \leq 0, b \geq 0 \) или \( b \leq 0, a \geq 0 \)
в) \( \sqrt{a^2 b} \), \( a \) – любое число, \( b \geq 0 \)
г) \( \sqrt{a^2 b^2} \), \( a, b \) – любые числа
д) \( \sqrt{-a b^2} \), при \( a \leq 0, b \) – любое число
е) \( \sqrt{-a^2 b^2} \) – выражение не имеет смысла ни при каких \( a \) и \( b \)

а) \( \sqrt{x^3}, \quad x \geq 0 \)
Подкоренное выражение \(x^3\) можно представить как \(x^3 = x^2 \cdot x\). При этом \(x^2 \geq 0\) для любого \(x \in \mathbb{R}\), но множитель \(x\) влияет на знак всего выражения. Если \(x < 0\), то \(x^3 < 0\), и тогда корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел. Поэтому область определения функции ограничивается неотрицательными значениями \(x\), то есть \(x \geq 0\).

б) \( \sqrt{x^4}, \quad x \text{ — любое число} \)
Подкоренное выражение \(x^4 = (x^2)^2\) является квадратом квадрата, а значит, всегда неотрицательно. Для любого \(x \in \mathbb{R}\) справедливо \(x^4 \geq 0\). Следовательно, корень четной степени существует для всех значений \(x\), то есть область определения — множество всех действительных чисел.

в) \( \sqrt{x^2 + 1}, \quad x \text{ — любое число} \)
Выражение под корнем \(x^2 + 1\) всегда положительно, так как \(x^2 \geq 0\) для всех \(x\), а прибавка 1 делает сумму строго больше нуля. Значит, подкоренное выражение неотрицательно для всех \(x\), и корень существует при любом \(x \in \mathbb{R}\).

г) \( \sqrt{(4 — x)^2}, \quad x \text{ — любое число} \)
Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Выражение \((4 — x)^2 \geq 0\) для всех \(x\). Следовательно, корень четной степени из \((4 — x)^2\) существует при любом \(x\), то есть область определения — все действительные числа.

д) \( \sqrt{-x^2}, \quad x = 0 \)
Подкоренное выражение \(-x^2\) неотрицательно только при \(x = 0\), так как \(x^2 \geq 0\), а с минусом оно становится \(\leq 0\). Корень четной степени из отрицательного числа не существует, поэтому область определения — единственная точка \(x = 0\).

е) \( \sqrt{-x^3}, \quad x \leq 0 \)
Рассмотрим знак выражения \(-x^3\). При \(x \leq 0\) куб \(x^3 \leq 0\), тогда \(-x^3 \geq 0\). Значит, подкоренное выражение неотрицательно для всех \(x \leq 0\), и корень существует именно при таких \(x\). Область определения — множество \(x \leq 0\).