ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 464 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях переменной \( x \) имеет смысл выражение:
а) \(\frac{4}{\sqrt{x}}\);
б) \(\frac{1}{\sqrt{x+2}}\);
в) \(\frac{5}{\sqrt{x-1}}\)?

а) \( \frac{4}{\sqrt{x}}, \quad x > 0 \)

б) \( \frac{1}{\sqrt{x + 2}}, \quad x \geq 0 \)

в) \( \frac{5}{\sqrt{x — 1}}, \quad x \neq 1, x > 0 \)

а) \( \frac{4}{\sqrt{x}}, \quad x > 0 \)

Выражение содержит корень квадратный из переменной \(x\), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \(x > 0\). Деление на ноль недопустимо, поэтому \(x \neq 0\). Значит, область определения функции — все положительные числа.

б) \( \frac{1}{\sqrt{x + 2}}, \quad x \geq 0 \)

Подкоренное выражение — \(x + 2\). Для существования корня нужно, чтобы \(x + 2 \geq 0\), откуда \(x \geq -2\). Но в условии дано \(x \geq 0\), то есть область определения сужена до неотрицательных чисел. Деление на ноль запрещено, значит \(x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\), но так как \(x \geq 0\), эта точка не входит в область. Значит, область определения — \(x \geq 0\).

в) \( \frac{5}{\sqrt{x — 1}}, \quad x \neq 1, x > 0 \)

Подкоренное выражение — \(x — 1\). Для существования корня \(x — 1 > 0\), то есть \(x > 1\). Деление на ноль запрещено, значит \(x \neq 1\). При этом \(x > 0\) — дополнительное условие, которое выполняется при \(x > 1\). Значит, область определения — все числа больше 1.