ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 468 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь при различных значениях \( b \) уравнение:
а) \(\sqrt{x} = x + b\);
б) \(\sqrt{x} = -x + b\).

а) \( \sqrt{x} = x + b \)
\( y = \sqrt{x}, \quad y = x + b \)
при \( b = 0 \) – два корня:

При \( b=0 \) графики \( y=\sqrt{x} \) и \( y=x \) пересекаются в двух точках.

при \( b > 0 \) – один корень или корней нет:

Если \( b > 0 \), прямая сдвинута вверх, пересечения либо одно, либо отсутствуют.

при \( b < 0 \) – один корень:
Если \( b < 0 \), прямая сдвинута вниз, пересекает график \( y=\sqrt{x} \) в одной точке.

б) \( \sqrt{x} = -x + b \)
\( y = \sqrt{x}, \quad y = -x + b \)
при \( b = 0 \) – один корень:
При \( b=0 \) графики пересекаются в одной точке.

при \( b > 0 \) – один корень:
Если \( b > 0 \), прямая выше, пересекает график один раз.

при \( b < 0 \) – корней нет:
Если \( b < 0 \), прямая ниже, пересечения с графиком нет.

а) \( \sqrt{x} = x + b \)
\( y = \sqrt{x}, \quad y = x + b \)
При \( b = 0 \) уравнение принимает вид \( \sqrt{x} = x \).
\( \Rightarrow \sqrt{x} = x \)
Возведем обе части в квадрат:
\( \Rightarrow x = x^2 \)
\( \Rightarrow x^2 — x = 0 \)
\( \Rightarrow x(x — 1) = 0 \)
\( \Rightarrow x = 0 \) или \( x = 1 \)
Поскольку \( \sqrt{x} \geq 0 \), оба корня подходят. Значит, при \( b=0 \) два корня.

При \( b > 0 \) уравнение:
\( \sqrt{x} = x + b \)
Поскольку \( b > 0 \), прямая \( y = x + b \) сдвинута вверх.
На графике \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x + b \) пересекаются максимум в одной точке, либо не пересекаются вовсе, так как прямая выше графика корня при малых \( x \).
Значит, при \( b > 0 \) один корень или корней нет.

При \( b < 0 \) уравнение:
\( \sqrt{x} = x + b \)
Прямая \( y = x + b \) сдвинута вниз.
График \( y = \sqrt{x} \) начинается в точке \( (0,0) \), а прямая при \( x=0 \) равна \( b < 0 \), то есть ниже оси \( x \).
При больших \( x \) \( y = x + b \) растет быстрее, чем \( y = \sqrt{x} \), поэтому графики пересекаются ровно в одной точке.
Значит, при \( b < 0 \) один корень.

б) \( \sqrt{x} = -x + b \)
\( y = \sqrt{x}, \quad y = -x + b \)
При \( b = 0 \) уравнение:
\( \sqrt{x} = -x \)
Правая часть отрицательна для \( x > 0 \), левая — неотрицательна.
Единственное решение \( x=0 \), где обе части равны нулю.
Значит, при \( b=0 \) один корень.

При \( b > 0 \) уравнение:
\( \sqrt{x} = -x + b \)
Прямая \( y = -x + b \) начинается в точке \( (0,b) \), где \( b > 0 \), и убывает.
График \( y = \sqrt{x} \) растет, поэтому они пересекаются в одной точке.
Значит, при \( b > 0 \) один корень.

При \( b < 0 \) уравнение:
\( \sqrt{x} = -x + b \)
Прямая \( y = -x + b \) начинается ниже оси \( x \) и убывает.
График \( y = \sqrt{x} \) неотрицателен и растет.
Пересечений нет, так как \( y = -x + b < 0 \) для всех \( x \geq 0 \).
Значит, при \( b < 0 \) корней нет: \( \emptyset \).