Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 47 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
(Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях \(a\), отличных от \(-2\) и \(2\), значение дроби \(\frac{a^2 — 4}{12 + a^2 — a^4}\) является отрицательным числом?
1) Выберите произвольное значение \(a\), отличное от \(-2\) и \(2\), и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.
\( \frac{a^2 — 4}{12 + a^2 — a^4}, \quad a \neq \pm 2 \)
1) при \( a = 1 \):
\( \frac{1^2 — 4}{12 + 1^2 — 1^4} = \frac{1 — 4}{12 + 1 — 1} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} < 0 \) — верно.
2) \( \frac{a^2 — 4}{12 + a^2 — a^4} = \frac{a^2 — 4}{16 — 4 + a^2 — a^4} = \frac{a^2 — 4}{(16 — a^4) — (4 — a^2)} = \)
\( = \frac{a^2 — 4}{(4 — a^2)(4 + a^2) — (4 — a^2)} = \frac{a^2 — 4}{(4 — a^2)((4 + a^2) — 1)} = \frac{a^2 — 4}{(4 — a^2)(3 + a^2)} = \)
\( = \frac{-(4 — a^2)}{(4 — a^2)(3 + a^2)} = \frac{-1}{3 + a^2} < 0 \), так как перед дробью стоит отрицательный знак.
\( \frac{a^2 — 4}{12 + a^2 — a^4}, \quad a \neq \pm 2 \)
1) При \( a = 1 \) подставляем значение \( a \) в числитель и знаменатель дроби. В числителе получаем \( 1^2 — 4 = 1 — 4 = -3 \). В знаменателе считаем отдельно: \( 12 + 1^2 — 1^4 = 12 + 1 — 1 = 12 \). Таким образом, дробь равна \( \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} \). Это число отрицательное, так как числитель отрицателен, а знаменатель положителен. Следовательно, при \( a = 1 \) выражение меньше нуля, что соответствует условию.
2) Рассмотрим общий случай для \( a \neq \pm 2 \). Сначала упростим знаменатель. Запишем его как \( 12 + a^2 — a^4 \). Перепишем 12 в виде \( 16 — 4 \), чтобы удобнее было группировать с остальными слагаемыми: \( (16 — 4) + a^2 — a^4 \). Теперь сгруппируем так: \( (16 — a^4) — (4 — a^2) \). Заметим, что \( 16 — a^4 \) можно разложить как разность квадратов: \( (4)^2 — (a^2)^2 = (4 — a^2)(4 + a^2) \). Аналогично, \( 4 — a^2 \) — это тоже разность квадратов, но в данном случае оставим как есть.
Подставляя это в знаменатель, получаем \( (4 — a^2)(4 + a^2) — (4 — a^2) \). Вынесем общий множитель \( (4 — a^2) \) за скобки: \( (4 — a^2)((4 + a^2) — 1) = (4 — a^2)(3 + a^2) \). Таким образом, знаменатель упрощается до произведения двух множителей.
Теперь вернемся к дроби: числитель \( a^2 — 4 \) можно переписать как \( -(4 — a^2) \), поскольку \( a^2 — 4 = -(4 — a^2) \). Подставляем это в дробь:
\( \frac{a^2 — 4}{(4 — a^2)(3 + a^2)} = \frac{-(4 — a^2)}{(4 — a^2)(3 + a^2)} \).
Сокращаем на \( (4 — a^2) \), учитывая, что \( a \neq \pm 2 \) и знаменатель не равен нулю, получаем:
\( \frac{-1}{3 + a^2} \).
Поскольку \( 3 + a^2 > 0 \) для всех \( a \), а перед дробью стоит отрицательный знак, вся дробь отрицательна. Следовательно, выражение меньше нуля при всех \( a \neq \pm 2 \).
Таким образом, исходное выражение при \( a = 1 \) и в общем случае для \( a \neq \pm 2 \) всегда отрицательно, что подтверждается вычислениями и упрощениями.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!