ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 47 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях \(a\), отличных от \(-2\) и \(2\), значение дроби \(\frac{a^2 — 4}{12 + a^2 — a^4}\) является отрицательным числом?
1) Выберите произвольное значение \(a\), отличное от \(-2\) и \(2\), и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

\( \frac{a^2 — 4}{12 + a^2 — a^4}, \quad a \neq \pm 2 \)

1) при \( a = 1 \):

\( \frac{1^2 — 4}{12 + 1^2 — 1^4} = \frac{1 — 4}{12 + 1 — 1} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} < 0 \) — верно.

2) \( \frac{a^2 — 4}{12 + a^2 — a^4} = \frac{a^2 — 4}{16 — 4 + a^2 — a^4} = \frac{a^2 — 4}{(16 — a^4) — (4 — a^2)} = \)

\( = \frac{a^2 — 4}{(4 — a^2)(4 + a^2) — (4 — a^2)} = \frac{a^2 — 4}{(4 — a^2)((4 + a^2) — 1)} = \frac{a^2 — 4}{(4 — a^2)(3 + a^2)} = \)

\( = \frac{-(4 — a^2)}{(4 — a^2)(3 + a^2)} = \frac{-1}{3 + a^2} < 0 \), так как перед дробью стоит отрицательный знак.

\( \frac{a^2 — 4}{12 + a^2 — a^4}, \quad a \neq \pm 2 \)

1) При \( a = 1 \) подставляем значение \( a \) в числитель и знаменатель дроби. В числителе получаем \( 1^2 — 4 = 1 — 4 = -3 \). В знаменателе считаем отдельно: \( 12 + 1^2 — 1^4 = 12 + 1 — 1 = 12 \). Таким образом, дробь равна \( \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} \). Это число отрицательное, так как числитель отрицателен, а знаменатель положителен. Следовательно, при \( a = 1 \) выражение меньше нуля, что соответствует условию.

2) Рассмотрим общий случай для \( a \neq \pm 2 \). Сначала упростим знаменатель. Запишем его как \( 12 + a^2 — a^4 \). Перепишем 12 в виде \( 16 — 4 \), чтобы удобнее было группировать с остальными слагаемыми: \( (16 — 4) + a^2 — a^4 \). Теперь сгруппируем так: \( (16 — a^4) — (4 — a^2) \). Заметим, что \( 16 — a^4 \) можно разложить как разность квадратов: \( (4)^2 — (a^2)^2 = (4 — a^2)(4 + a^2) \). Аналогично, \( 4 — a^2 \) — это тоже разность квадратов, но в данном случае оставим как есть.

Подставляя это в знаменатель, получаем \( (4 — a^2)(4 + a^2) — (4 — a^2) \). Вынесем общий множитель \( (4 — a^2) \) за скобки: \( (4 — a^2)((4 + a^2) — 1) = (4 — a^2)(3 + a^2) \). Таким образом, знаменатель упрощается до произведения двух множителей.

Теперь вернемся к дроби: числитель \( a^2 — 4 \) можно переписать как \( -(4 — a^2) \), поскольку \( a^2 — 4 = -(4 — a^2) \). Подставляем это в дробь:

\( \frac{a^2 — 4}{(4 — a^2)(3 + a^2)} = \frac{-(4 — a^2)}{(4 — a^2)(3 + a^2)} \).

Сокращаем на \( (4 — a^2) \), учитывая, что \( a \neq \pm 2 \) и знаменатель не равен нулю, получаем:

\( \frac{-1}{3 + a^2} \).

Поскольку \( 3 + a^2 > 0 \) для всех \( a \), а перед дробью стоит отрицательный знак, вся дробь отрицательна. Следовательно, выражение меньше нуля при всех \( a \neq \pm 2 \).

Таким образом, исходное выражение при \( a = 1 \) и в общем случае для \( a \neq \pm 2 \) всегда отрицательно, что подтверждается вычислениями и упрощениями.