Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 470 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите значение корня:
а) \(\sqrt{\frac{165^2 — 124^2}{164}}\);
б) \(\sqrt{\frac{98}{176^2 — 112^2}}\);
в) \(\sqrt{\frac{149^2 — 76^2}{457^2 — 384^2}}\);
г) \(\sqrt{\frac{145,5^2 — 96,5^2}{193,5^2 — 31,5^2}}\).
а) \(\sqrt{\frac{165^2 — 124^2}{164}} = \sqrt{\frac{(165 — 124)(165 + 124)}{164}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}} = \sqrt{\frac{289}{4}} = \frac{17}{2} = 8,5\).
б) \(\sqrt{\frac{98}{176^2 — 112^2}} = \sqrt{\frac{98}{(176 — 112)(176 + 112)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}} = \sqrt{\frac{49}{64} \cdot \frac{2}{9}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{24}\).
в) \(\sqrt{\frac{149^2 — 76^2}{457^2 — 384^2}} = \sqrt{\frac{(149 — 76)(149 + 76)}{(457 — 384)(457 + 384)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{73 \cdot 225}{73 \cdot 841}} = \sqrt{\frac{225}{841}} = \frac{15}{29}\).
г) \(\sqrt{\frac{145,5^2 — 96,5^2}{193,5^2 — 31,5^2}} = \sqrt{\frac{(145,5 — 96,5)(145,5 + 96,5)}{(193,5 — 31,5)(193,5 + 31,5)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135}\).
а) \(\sqrt{\frac{165^2 — 124^2}{164}} = \sqrt{\frac{(165 — 124)(165 + 124)}{164}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}} = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{4 \cdot 41}} = \sqrt{\frac{289}{4}} = \frac{17}{2} = 8,5\).
В этом выражении мы использовали формулу разности квадратов \(a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)\), чтобы разложить числитель под корнем. Затем сократили общий множитель \(41\) в числителе и знаменателе. После этого извлекли корень из дроби, взяв корень из числителя и знаменателя отдельно.
б) \(\sqrt{\frac{98}{176^2 — 112^2}} = \sqrt{\frac{98}{(176 — 112)(176 + 112)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}} = \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 2}{64 \cdot 288}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{49}{64} \cdot \frac{2}{288}} = \sqrt{\frac{49}{64} \cdot \frac{1}{144}} = \sqrt{\frac{49}{64} \cdot \frac{1}{144}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{12} = \frac{7}{96}\).
Здесь также применена формула разности квадратов для знаменателя. Число 98 разложили на 49 и 2, чтобы упростить корень. Далее выделили квадратные корни из числителя и знаменателя по отдельности и сократили дробь.
в) \(\sqrt{\frac{149^2 — 76^2}{457^2 — 384^2}} = \sqrt{\frac{(149 — 76)(149 + 76)}{(457 — 384)(457 + 384)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{73 \cdot 225}{73 \cdot 841}} = \sqrt{\frac{225}{841}} = \frac{15}{29}\).
В этом случае также использована формула разности квадратов. Общий множитель 73 в числителе и знаменателе сокращается, после чего извлекается корень из дроби.
г) \(\sqrt{\frac{145,5^2 — 96,5^2}{193,5^2 — 31,5^2}} = \sqrt{\frac{(145,5 — 96,5)(145,5 + 96,5)}{(193,5 — 31,5)(193,5 + 31,5)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 121 \cdot 2}{81 \cdot 225 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135}\).
Здесь также применяется формула разности квадратов для упрощения выражения под корнем. Произведение в числителе и знаменателе разложено на множители, после чего были выделены квадратные корни и произведена сокращение дроби.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!