ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 470 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение корня:
а) \(\sqrt{\frac{165^2 — 124^2}{164}}\);
б) \(\sqrt{\frac{98}{176^2 — 112^2}}\);
в) \(\sqrt{\frac{149^2 — 76^2}{457^2 — 384^2}}\);
г) \(\sqrt{\frac{145,5^2 — 96,5^2}{193,5^2 — 31,5^2}}\).

а) \(\sqrt{\frac{165^2 — 124^2}{164}} = \sqrt{\frac{(165 — 124)(165 + 124)}{164}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}} = \sqrt{\frac{289}{4}} = \frac{17}{2} = 8,5\).

б) \(\sqrt{\frac{98}{176^2 — 112^2}} = \sqrt{\frac{98}{(176 — 112)(176 + 112)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}} = \sqrt{\frac{49}{64} \cdot \frac{2}{9}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{24}\).

в) \(\sqrt{\frac{149^2 — 76^2}{457^2 — 384^2}} = \sqrt{\frac{(149 — 76)(149 + 76)}{(457 — 384)(457 + 384)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{73 \cdot 225}{73 \cdot 841}} = \sqrt{\frac{225}{841}} = \frac{15}{29}\).

г) \(\sqrt{\frac{145,5^2 — 96,5^2}{193,5^2 — 31,5^2}} = \sqrt{\frac{(145,5 — 96,5)(145,5 + 96,5)}{(193,5 — 31,5)(193,5 + 31,5)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135}\).

а) \(\sqrt{\frac{165^2 — 124^2}{164}} = \sqrt{\frac{(165 — 124)(165 + 124)}{164}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}} = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{4 \cdot 41}} = \sqrt{\frac{289}{4}} = \frac{17}{2} = 8,5\).

В этом выражении мы использовали формулу разности квадратов \(a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)\), чтобы разложить числитель под корнем. Затем сократили общий множитель \(41\) в числителе и знаменателе. После этого извлекли корень из дроби, взяв корень из числителя и знаменателя отдельно.

б) \(\sqrt{\frac{98}{176^2 — 112^2}} = \sqrt{\frac{98}{(176 — 112)(176 + 112)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}} = \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 2}{64 \cdot 288}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{49}{64} \cdot \frac{2}{288}} = \sqrt{\frac{49}{64} \cdot \frac{1}{144}} = \sqrt{\frac{49}{64} \cdot \frac{1}{144}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{12} = \frac{7}{96}\).

Здесь также применена формула разности квадратов для знаменателя. Число 98 разложили на 49 и 2, чтобы упростить корень. Далее выделили квадратные корни из числителя и знаменателя по отдельности и сократили дробь.

в) \(\sqrt{\frac{149^2 — 76^2}{457^2 — 384^2}} = \sqrt{\frac{(149 — 76)(149 + 76)}{(457 — 384)(457 + 384)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{73 \cdot 225}{73 \cdot 841}} = \sqrt{\frac{225}{841}} = \frac{15}{29}\).

В этом случае также использована формула разности квадратов. Общий множитель 73 в числителе и знаменателе сокращается, после чего извлекается корень из дроби.

г) \(\sqrt{\frac{145,5^2 — 96,5^2}{193,5^2 — 31,5^2}} = \sqrt{\frac{(145,5 — 96,5)(145,5 + 96,5)}{(193,5 — 31,5)(193,5 + 31,5)}} =\)
\(\quad = \sqrt{\frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 121 \cdot 2}{81 \cdot 225 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135}\).

Здесь также применяется формула разности квадратов для упрощения выражения под корнем. Произведение в числителе и знаменателе разложено на множители, после чего были выделены квадратные корни и произведена сокращение дроби.