ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 472 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что \( a < 0 \) и \( b < 0 \). Представьте выражение: а) \( \sqrt{ab} \) в виде произведения корней; б) \( \sqrt{\frac{a}{b}} \) в виде частного корней.

а) \( \sqrt{ab} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} \)

Поскольку \( a < 0 \) и \( b < 0 \), то \( ab > 0 \), поэтому \( \sqrt{ab} \) определён. Также \( -a > 0 \) и \( -b > 0 \), поэтому \( \sqrt{-a} \) и \( \sqrt{-b} \) определены.

По свойству корней: \( \sqrt{ab} = \sqrt{(-a) \cdot (-b)} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} \). Тождество доказано.

б) \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} \)

Поскольку \( a < 0 \) и \( b < 0 \), то \( \frac{a}{b} > 0 \), поэтому \( \sqrt{\frac{a}{b}} \) определён. Также \( -a > 0 \) и \( -b > 0 \), поэтому корни в правой части определены.

По свойству корней: \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{-a}{-b}} = \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} \). Тождество доказано.

а) \( \sqrt{ab} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} \)

Для доказательства этого тождества необходимо тщательно проанализировать область определения и свойства корней при отрицательных значениях переменных. Поскольку по условию \( a < 0 \) и \( b < 0 \), произведение \( ab \) будет положительным числом, так как произведение двух отрицательных чисел всегда даёт положительное значение. Это означает, что выражение \( \sqrt{ab} \) определено и представляет собой действительное положительное число. Одновременно с этим, поскольку \( a < 0 \), то \( -a > 0 \), и аналогично \( -b > 0 \), поэтому оба корня \( \sqrt{-a} \) и \( \sqrt{-b} \) в правой части также определены и являются действительными положительными числами.

Теперь применим фундаментальное свойство корней, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: \( \sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \) при условии, что \( x \geq 0 \) и \( y \geq 0 \). В нашем случае мы можем переписать произведение \( ab \) как произведение \( (-a) \cdot (-b) \), поскольку \( a = -(-a) \) и \( b = -(-b) \). Тогда \( \sqrt{ab} = \sqrt{(-a) \cdot (-b)} \). Применяя свойство корня из произведения, получаем \( \sqrt{(-a) \cdot (-b)} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} \). Таким образом, левая часть исходного тождества полностью совпадает с правой частью, что и требовалось доказать. Это тождество показывает, что при работе с корнями отрицательных чисел мы можем использовать стандартные алгебраические преобразования, предварительно переходя к положительным значениям под корнем.

б) \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} \)

Для доказательства этого тождества начнём с анализа области определения дроби под корнем. Поскольку \( a < 0 \) и \( b < 0 \), частное \( \frac{a}{b} \) будет положительным числом, так как деление двух отрицательных чисел даёт положительный результат. Это гарантирует, что выражение \( \sqrt{\frac{a}{b}} \) определено и представляет собой действительное положительное число. В правой части тождества числитель \( \sqrt{-a} \) определён, так как \( -a > 0 \), и знаменатель \( \sqrt{-b} \) определён, так как \( -b > 0 \). Кроме того, знаменатель не равен нулю, поскольку \( b \neq 0 \) (иначе исходная дробь не была бы определена), следовательно, \( \sqrt{-b} \neq 0 \).

Применим свойство корня из дроби, которое утверждает, что \( \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \) при условии, что \( x \geq 0 \) и \( y > 0 \). Преобразуем дробь под корнем следующим образом: \( \frac{a}{b} = \frac{-a}{-b} \), поскольку \( a = -(-a) \) и \( b = -(-b) \). Тогда \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{-a}{-b}} \). Применяя свойство корня из дроби, получаем \( \sqrt{\frac{-a}{-b}} = \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} \). Левая часть исходного тождества полностью совпадает с правой частью, что завершает доказательство. Это тождество демонстрирует, что свойства корней для дробей остаются справедливыми даже при работе с отрицательными числами, если мы правильно преобразуем выражения, переходя к положительным значениям под корнем.