Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 473 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите значение выражения (если оно имеет смысл):
а) \( \sqrt{(-12)^2} \)
б) \( -\sqrt{10^2} \)
в) \( \sqrt{-10^2} \)
г) \( -\sqrt{(-11)^2} \)
д) \( \sqrt{-(-15)^2} \)
е) \( -\sqrt{(-25)^2} \)
а) \( \sqrt{(-12)^2} = 12 \)
Квадрат любого числа положителен, поэтому \( (-12)^2 = 144 \). Арифметический квадратный корень из положительного числа всегда положителен: \( \sqrt{144} = 12 \).
б) \( -\sqrt{10^2} = -10 \)
Вычислим: \( 10^2 = 100 \), тогда \( \sqrt{100} = 10 \). Знак минус перед корнем дает: \( -10 \).
в) \( \sqrt{-10^2} \) — не имеет смысла
Выражение под корнем: \( -10^2 = -100 \). Арифметический квадратный корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел.
г) \( -\sqrt{(-11)^2} = -11 \)
Вычислим: \( (-11)^2 = 121 \), тогда \( \sqrt{121} = 11 \). Знак минус перед корнем дает: \( -11 \).
д) \( \sqrt{-(-15)^2} \) — не имеет смысла
Выражение под корнем: \( -(-15)^2 = -225 \). Арифметический квадратный корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел.
е) \( -\sqrt{(-25)^2} = -25 \)
Вычислим: \( (-25)^2 = 625 \), тогда \( \sqrt{625} = 25 \). Знак минус перед корнем дает: \( -25 \).
а) \( \sqrt{(-12)^2} = 12 \)
Для решения этого выражения необходимо понимать свойства квадратного корня и степеней. Сначала вычислим выражение под знаком корня. Возведем число \( -12 \) в квадрат: \( (-12)^2 = (-12) \cdot (-12) = 144 \). Важно помнить, что при возведении в четную степень любого числа, будь оно положительным или отрицательным, результат всегда положительный, так как произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.
Теперь нам нужно найти арифметический квадратный корень из числа 144. Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, которое при возведении в квадрат дает подкоренное выражение. Следовательно, \( \sqrt{144} = 12 \), потому что \( 12^2 = 144 \) и \( 12 > 0 \). Таким образом, ответ равен 12. Это демонстрирует важное свойство: \( \sqrt{a^2} = |a| \), где \( |a| \) — абсолютное значение числа \( a \). В нашем случае \( \sqrt{(-12)^2} = |-12| = 12 \).
б) \( -\sqrt{10^2} = -10 \)
В этом примере мы имеем дело с отрицательным знаком, стоящим перед корнем, что принципиально отличается от предыдущего случая. Сначала вычислим выражение под корнем: \( 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \). Поскольку число 10 уже положительное, его квадрат также положительный и равен 100.
Затем находим арифметический квадратный корень: \( \sqrt{100} = 10 \), так как \( 10^2 = 100 \) и \( 10 > 0 \). Однако перед корнем стоит знак минус, который применяется к результату извлечения корня. Поэтому \( -\sqrt{100} = -10 \). Критически важно различать случаи, когда минус находится под корнем (как в пункте в) и когда он находится перед корнем. Здесь минус находится снаружи, поэтому мы сначала извлекаем положительный корень, а потом применяем отрицательный знак.
в) \( \sqrt{-10^2} \) — не имеет смысла
Для анализа этого выражения нужно внимательно разобраться с порядком операций. Согласно правилам приоритета операций, возведение в степень выполняется раньше, чем унарный минус перед числом. Поэтому \( -10^2 \) означает \( -(10^2) = -(100) = -100 \), а не \( (-10)^2 = 100 \). Это очень важное различие, которое часто становится источником ошибок.
Теперь нам нужно найти \( \sqrt{-100} \), то есть арифметический квадратный корень из отрицательного числа. В области действительных чисел (которые мы используем в школьной математике) квадратный корень из отрицательного числа не существует, потому что не существует никакого действительного числа, которое при возведении в квадрат дало бы отрицательное число. Любое действительное число, возведенное в квадрат, дает неотрицательный результат. Поэтому выражение \( \sqrt{-100} \) не имеет смысла в области действительных чисел. Такие выражения имеют смысл только в области комплексных чисел, где вводится мнимая единица \( i \), но это выходит за рамки школьной программы.
г) \( -\sqrt{(-11)^2} = -11 \)
Начнем с вычисления выражения под корнем. Возведем число \( -11 \) в квадрат: \( (-11)^2 = (-11) \cdot (-11) = 121 \). Как и в пункте а), при возведении отрицательного числа в четную степень получается положительное число, так как произведение двух отрицательных множителей дает положительный результат.
После этого находим арифметический квадратный корень: \( \sqrt{121} = 11 \), потому что \( 11^2 = 121 \) и \( 11 > 0 \). Теперь применяем знак минус, который стоит перед корнем: \( -\sqrt{121} = -11 \). Здесь, как и в пункте б), минус находится снаружи корня, поэтому мы сначала получаем положительное значение корня, а затем применяем отрицательный знак. Результат равен \( -11 \).
д) \( \sqrt{-(-15)^2} \) — не имеет смысла
Это выражение требует особенно внимательного анализа порядка операций. Сначала вычислим \( (-15)^2 = (-15) \cdot (-15) = 225 \). Затем применим унарный минус перед этим результатом: \( -(-15)^2 = -225 \). Важно заметить, что минус перед скобками применяется к результату возведения в степень, а не входит в состав основания степени.
Теперь нам нужно найти \( \sqrt{-225} \), то есть арифметический квадратный корень из числа \( -225 \). Как и в пункте в), мы сталкиваемся с необходимостью извлечь корень из отрицательного числа. В области действительных чисел это невозможно, так как любое действительное число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. Поэтому выражение \( \sqrt{-225} \) не имеет смысла в области действительных чисел и не может быть вычислено в рамках школьной математики.
е) \( -\sqrt{(-25)^2} = -25 \)
Для решения этого примера начнем с вычисления выражения под корнем. Возведем число \( -25 \) в квадрат: \( (-25)^2 = (-25) \cdot (-25) = 625 \). Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число, поэтому результат положительный.
Затем находим арифметический квадратный корень из 625: \( \sqrt{625} = 25 \), так как \( 25^2 = 625 \) и \( 25 > 0 \). Наконец, применяем знак минус, который стоит перед корнем: \( -\sqrt{625} = -25 \). Это выражение хорошо определено, так как мы извлекаем корень из положительного числа 625, а затем применяем отрицательный знак к результату. Ответ равен \( -25 \). Этот пример еще раз подтверждает важность различия между минусом под корнем (что делает выражение неопределенным) и минусом перед корнем (что просто меняет знак результата).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!