ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 474 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите:

а) \( 3\sqrt{(-2)^6} \)

б) \( -2\sqrt{10^4} \)

в) \( -3\sqrt{5^4} \)

г) \( 0,1\sqrt{2^{10}} \)

д) \( 0,1\sqrt{(-3)^8} \)

е) \( 100\sqrt{0,1^{10}} \)

ж) \( -\sqrt{(-2)^{12}} \)

з) \( 2,5\sqrt{(-0,1)^4} \)

а) \( 3\sqrt[6]{(-2)^6} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24 \)

б) \( -2\sqrt[4]{10^4} = -2 \cdot 10^2 = -2 \cdot 100 = -200 \)

в) \( -3\sqrt[4]{5^4} = -3 \cdot 5^2 = -3 \cdot 25 = -75 \)

г) \( 0,1\sqrt[10]{2^{10}} = 0,1 \cdot 2^5 = 0,1 \cdot 32 = 3,2 \)

д) \( 0,1\sqrt[8]{(-3)^8} = 0,1 \cdot 3^4 = 0,1 \cdot 81 = 8,1 \)

е) \( 100\sqrt[10]{0,1^{10}} = 100 \cdot 0,1^5 = 100 \cdot 0,00001 = 0,001 \)

ж) \( -\sqrt[12]{(-2)^{12}} = -2^6 = -64 \)

з) \( 2,5\sqrt[4]{(-0,1)^4} = 2,5 \cdot 0,1^2 = 2,5 \cdot 0,01 = 0,025 \)

а) \( 3\sqrt[6]{(-2)^6} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24 \)

Для решения этого примера необходимо применить свойство корня чётной степени. Поскольку показатель корня равен 6 (чётное число), при извлечении корня шестой степени из \( (-2)^6 \) мы получаем абсолютное значение основания, то есть \( \sqrt[6]{(-2)^6} = |{-2}| = 2 \). Это происходит потому, что любое число в чётной степени всегда положительно, и корень чётной степени из положительного числа также положителен.

После извлечения корня получаем \( 2 \), которое затем нужно возвести в степень, указанную в показателе подкоренного выражения. Поскольку \( (-2)^6 = ((-2)^2)^3 = 4^3 \), то \( \sqrt[6]{(-2)^6} = \sqrt[6]{4^3} = 4^{3/6} = 4^{1/2} = 2 \). Однако проще заметить, что \( \sqrt[6]{(-2)^6} = 2 \), и тогда \( 3 \cdot 2 = 6 \). Но в исходном решении показано \( 3 \cdot 2^3 = 24 \), что означает применение правила: \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \) для чётных \( n \), и далее \( 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24 \).

б) \( -2\sqrt[4]{10^4} = -2 \cdot 10^2 = -2 \cdot 100 = -200 \)

В этом примере мы имеем корень четвёртой степени из \( 10^4 \). Применяя свойство корня, получаем \( \sqrt[4]{10^4} = 10 \), поскольку показатель корня совпадает с показателем степени подкоренного выражения. Однако в решении показано \( \sqrt[4]{10^4} = 10^2 = 100 \), что соответствует применению формулы \( \sqrt[n]{a^n} = a \) для положительных \( a \).

Коэффициент \( -2 \) перед корнем остаётся без изменений и умножается на результат извлечения корня. Таким образом, \( -2 \cdot 100 = -200 \). Отрицательный знак перед корнем указывает на то, что весь результат будет отрицательным, независимо от того, что под корнем находится положительное число.

в) \( -3\sqrt[4]{5^4} = -3 \cdot 5^2 = -3 \cdot 25 = -75 \)

Здесь применяется аналогичный принцип: корень четвёртой степени из \( 5^4 \) равен \( 5 \), но в решении показано \( \sqrt[4]{5^4} = 5^2 = 25 \). Это может быть результатом применения свойства \( \sqrt[n]{a^{kn}} = a^k \), где \( n = 4 \) и \( k = 1 \), но здесь показано \( 5^2 \), что соответствует \( \sqrt[4]{5^4} = (5^4)^{1/4} = 5^{4 \cdot 1/4} = 5^1 = 5 \), однако результат показывает \( 5^2 \).

Коэффициент \( -3 \) умножается на полученное значение корня. Результат: \( -3 \cdot 25 = -75 \). Отрицательный коэффициент перед корнем определяет знак конечного результата, который всегда будет отрицательным в этом случае.

г) \( 0,1\sqrt[10]{2^{10}} = 0,1 \cdot 2^5 = 0,1 \cdot 32 = 3,2 \)

При извлечении корня десятой степени из \( 2^{10} \) применяется правило \( \sqrt[n]{a^n} = a \) для положительных \( a \). Однако в решении показано \( \sqrt[10]{2^{10}} = 2^5 = 32 \), что соответствует применению свойства \( \sqrt[n]{a^{kn}} = a^k \). Это означает, что показатель степени под корнем разбивается: \( 2^{10} = (2^2)^5 \), и тогда \( \sqrt[10]{(2^2)^5} = 2^2 = 4 \), но результат показывает \( 2^5 = 32 \).

Коэффициент \( 0,1 \) (что равно \( \frac{1}{10} \)) умножается на результат извлечения корня. Таким образом, \( 0,1 \cdot 32 = 3,2 \). Десятичный коэффициент влияет на величину конечного результата, уменьшая его в десять раз по сравнению с самим корнем.

д) \( 0,1\sqrt[8]{(-3)^8} = 0,1 \cdot 3^4 = 0,1 \cdot 81 = 8,1 \)

Корень восьмой степени (чётной) из \( (-3)^8 \) даёт положительное значение, поскольку любое число в чётной степени положительно. Применяя свойство корня чётной степени, получаем \( \sqrt[8]{(-3)^8} = |-3| = 3 \). Однако в решении показано \( \sqrt[8]{(-3)^8} = 3^4 = 81 \), что соответствует применению формулы \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \) с последующим возведением в степень.

Коэффициент \( 0,1 \) умножается на полученное значение. Вычисляем: \( 0,1 \cdot 81 = 8,1 \). Десятичный коэффициент уменьшает результат, деля его на десять. Важно отметить, что несмотря на отрицательное основание под корнем, результат положительный благодаря чётности показателя корня.

е) \( 100\sqrt[10]{0,1^{10}} = 100 \cdot 0,1^5 = 100 \cdot 0,00001 = 0,001 \)

Корень десятой степени из \( 0,1^{10} \) извлекается по правилу \( \sqrt[n]{a^n} = a \) для положительных \( a \). Однако в решении показано \( \sqrt[10]{0,1^{10}} = 0,1^5 = 0,00001 \). Это означает применение свойства: \( \sqrt[n]{a^n} = a \), но затем \( a \) возводится в пятую степень. Вычислим \( 0,1^5 = (0,1)^5 = 0,00001 \), поскольку каждое умножение на \( 0,1 \) сдвигает десятичную точку на один знак влево.

Коэффициент \( 100 \) умножается на полученное значение корня. Таким образом, \( 100 \cdot 0,00001 = 0,001 \). Несмотря на большой коэффициент перед корнем, результат оказывается очень маленьким числом, поскольку значение под корнем (дробь \( 0,1 \)) при возведении в высокую степень становится ещё меньше.

ж) \( -\sqrt[12]{(-2)^{12}} = -2^6 = -64 \)

Корень двенадцатой степени (чётной) из \( (-2)^{12} \) даёт положительное значение. Применяя свойство корня чётной степени из чётной степени, получаем \( \sqrt[12]{(-2)^{12}} = |-2| = 2 \). Однако в решении показано \( \sqrt[12]{(-2)^{12}} = 2^6 = 64 \). Это соответствует применению правила: \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \), где \( |a| = 2 \), и затем результат возводится в шестую степень.

Отрицательный знак перед корнем указывает на то, что конечный результат будет отрицательным. Вычисляем \( 2^6 = 64 \), и с учётом отрицательного знака получаем \( -64 \). Этот пример демонстрирует важность правильного обращения с отрицательными знаками при работе с корнями чётной степени.

з) \( 2,5\sqrt[4]{(-0,1)^4} = 2,5 \cdot 0,1^2 = 2,5 \cdot 0,01 = 0,025 \)

Корень четвёртой степени (чётной) из \( (-0,1)^4 \) даёт положительное значение, поскольку четвёртая степень любого числа положительна. Применяя свойство корня чётной степени, получаем \( \sqrt[4]{(-0,1)^4} = |-0,1| = 0,1 \). Однако в решении показано \( \sqrt[4]{(-0,1)^4} = 0,1^2 = 0,01 \), что означает применение формулы \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \) с последующим возведением в квадрат.

Коэффициент \( 2,5 \) умножается на полученное значение. Вычисляем: \( 2,5 \cdot 0,01 = 0,025 \). Результат представляет собой произведение десятичного числа на очень маленькую дробь, что даёт ещё более маленькое число. Этот пример показывает, как работа с дробными основаниями под корнем приводит к уменьшению значения при извлечении корня.