ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 476 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях \( x \) верно равенство \( \sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2 \)?

\( \sqrt{x^2} = \left(\sqrt{x}\right)^2 \)

\( x = x, \) при \( x \geq 0. \)

Первое равенство верно для всех \( x \geq 0 \), так как \( \sqrt{x^2} = |x| = x \) при неотрицательных значениях.

Второе равенство \( \left(\sqrt{x}\right)^2 = x \) также верно при \( x \geq 0 \), поскольку квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, и возведение корня в квадрат возвращает исходное значение.

Таким образом, оба выражения равны \( x \) при условии \( x \geq 0 \).

Рассмотрим два тождества, которые связывают операции извлечения квадратного корня и возведения в квадрат. Эти тождества являются фундаментальными в алгебре и требуют тщательного анализа условий их применимости.

Первое тождество \( \sqrt{x^2} = \left(\sqrt{x}\right)^2 \) демонстрирует взаимосвязь между корневой функцией и квадратичной функцией. Левая часть этого равенства \( \sqrt{x^2} \) представляет собой извлечение квадратного корня из квадрата числа \( x \). По определению квадратного корня, это выражение всегда возвращает неотрицательное значение, равное абсолютной величине исходного числа, то есть \( \sqrt{x^2} = |x| \). Правая часть равенства \( \left(\sqrt{x}\right)^2 \) означает, что мы сначала извлекаем квадратный корень из \( x \), а затем возводим результат в квадрат. Операция извлечения квадратного корня определена только для неотрицательных чисел, поэтому \( \sqrt{x} \) существует лишь при \( x \geq 0 \). Когда мы возводим \( \sqrt{x} \) в квадрат, мы получаем исходное значение \( x \), то есть \( \left(\sqrt{x}\right)^2 = x \).

Для того чтобы оба выражения были равны, необходимо, чтобы \( |x| = x \). Это условие выполняется только тогда, когда \( x \geq 0 \), поскольку для неотрицательных чисел абсолютное значение совпадает с самим числом. Таким образом, тождество \( \sqrt{x^2} = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x \) справедливо при условии \( x \geq 0 \). Это ограничение критически важно, так как без него равенство нарушается. Например, если \( x = -3 \), то \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \), а \( \left(\sqrt{-3}\right)^2 \) не определено в области действительных чисел, поскольку квадратный корень из отрицательного числа не существует в множестве действительных чисел.

Второе утверждение \( x = x \) при \( x \geq 0 \) является тривиальным тождеством, которое верно для всех значений \( x \), удовлетворяющих условию неотрицательности. Однако его включение в контекст первого тождества подчёркивает важность условия \( x \geq 0 \). Это условие гарантирует, что все операции в цепочке равенств \( \sqrt{x^2} = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x \) определены и корректны. Область определения функции \( \sqrt{x} \) — это множество неотрицательных действительных чисел, то есть \( [0, +\infty) \). Поэтому при \( x \geq 0 \) мы можем свободно переходить от одного выражения к другому без потери информации или нарушения математических правил. Условие \( x \geq 0 \) служит ограничением, которое обеспечивает корректность всех преобразований и гарантирует, что каждый шаг решения имеет смысл в области действительных чисел.