Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 477 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
При каких значениях переменной верно равенство:
а) \( \sqrt{y^4} = y^2 \)
б) \( \sqrt{x^{12}} = x^6 \)
в) \( \sqrt{x^6} = x^3 \)
г) \( \sqrt{c^6} = -c^3 \)
д) \( \sqrt{a^{14}} = -a^7 \)
е) \( \sqrt{b^8} = b^4 \)
а) \( \sqrt[4]{y^4} = y^2 \) — неверно. Правильно: \( \sqrt[4]{y^4} = |y| \), так как корень четной степени всегда неотрицателен.
б) \( \sqrt[6]{x^{12}} = x^6 \) — неверно. Правильно: \( \sqrt[6]{x^{12}} = |x^2| = x^2 \), так как \( \sqrt[6]{x^{12}} = (x^{12})^{1/6} = x^2 \) по модулю.
в) \( \sqrt[3]{x^6} = x^3 \), \( x \geq 0 \) — верно. При \( x \geq 0 \): \( \sqrt[3]{x^6} = (x^6)^{1/3} = x^2 \). Условие неполное, должно быть \( x^2 \), а не \( x^3 \).
г) \( \sqrt[5]{c^{10}} = -c^5 \), \( c \leq 0 \) — неверно. Правильно: \( \sqrt[5]{c^{10}} = c^2 \), так как корень нечетной степени может быть отрицательным, но \( \sqrt[5]{c^{10}} = (c^{10})^{1/5} = c^2 \geq 0 \).
д) \( \sqrt[7]{a^{14}} = -a^7 \), \( a \leq 0 \) — неверно. Правильно: \( \sqrt[7]{a^{14}} = a^2 \), так как \( (a^{14})^{1/7} = a^2 \).
е) \( \sqrt[8]{b^8} = b^4 \) — неверно. Правильно: \( \sqrt[8]{b^8} = |b| \), так как корень четной степени дает неотрицательный результат.
а) \( \sqrt[4]{y^4} = y^2 \) — это утверждение содержит ошибку. Необходимо разобраться, что происходит при извлечении корня четвёртой степени из \( y^4 \). По определению, корень чётной степени из числа всегда возвращает неотрицательное значение, поскольку мы ищем такое число, которое при возведении в четвёртую степень даст \( y^4 \). Если \( y \) — положительное число, то \( \sqrt[4]{y^4} = y \), а если \( y \) — отрицательное число, то \( \sqrt[4]{y^4} = -y \), то есть мы получаем абсолютное значение.
Правильный ответ: \( \sqrt[4]{y^4} = |y| \). Это следует из свойства корней чётной степени, которые всегда дают неотрицательный результат. Например, если \( y = -2 \), то \( y^4 = 16 \), и \( \sqrt[4]{16} = 2 = |-2| \), а не \( (-2)^2 = 4 \). Таким образом, выражение \( y^2 \) в исходном примере неверно, так как оно не учитывает модуль переменной \( y \).
б) \( \sqrt[6]{x^{12}} = x^6 \) — это также ошибочное утверждение. При извлечении корня шестой степени из \( x^{12} \) нужно применить правило: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \) при условии, что корень чётной степени требует модуля. Вычислим показатель степени: \( \sqrt[6]{x^{12}} = (x^{12})^{1/6} = x^{12/6} = x^2 \), но это верно только по абсолютному значению.
Поскольку шесть — чётное число, корень шестой степени всегда неотрицателен. Правильный ответ: \( \sqrt[6]{x^{12}} = |x^2| = x^2 \), так как \( x^2 \) уже всегда неотрицательно независимо от знака \( x \). Исходное утверждение \( x^6 \) неправильно, потому что оно завышает показатель степени. Например, при \( x = 2 \): \( \sqrt[6]{2^{12}} = \sqrt[6]{4096} = 4 = 2^2 \), а не \( 2^6 = 64 \).
в) \( \sqrt[3]{x^6} = x^3 \), \( x \geq 0 \) — здесь требуется проверить корректность утверждения при условии неотрицательности \( x \). Применим правило для корней: \( \sqrt[3]{x^6} = (x^6)^{1/3} = x^{6/3} = x^2 \). Поскольку три — нечётное число, корень нечётной степени не требует модуля и может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от подкоренного выражения.
При условии \( x \geq 0 \) подкоренное выражение \( x^6 \) всегда неотрицательно, и результат \( x^2 \) также неотрицателен. Исходное утверждение \( x^3 \) неправильно — показатель степени вычислен ошибочно. Правильный ответ: \( \sqrt[3]{x^6} = x^2 \) при \( x \geq 0 \). Проверим: если \( x = 3 \), то \( \sqrt[3]{3^6} = \sqrt[3]{729} = 9 = 3^2 \), а не \( 3^3 = 27 \).
г) \( \sqrt[5]{c^{10}} = -c^5 \), \( c \leq 0 \) — это утверждение содержит серьёзную ошибку в понимании свойств корней нечётной степени. Вычислим: \( \sqrt[5]{c^{10}} = (c^{10})^{1/5} = c^{10/5} = c^2 \). Хотя пять — нечётное число и корень нечётной степени может быть отрицательным для отрицательных подкоренных выражений, здесь подкоренное выражение \( c^{10} \) всегда неотрицательно, так как любое число в чётной степени неотрицательно.
Правильный ответ: \( \sqrt[5]{c^{10}} = c^2 \), независимо от знака \( c \). Условие \( c \leq 0 \) не влияет на результат, потому что \( c^{10} \geq 0 \) всегда. Исходное утверждение \( -c^5 \) неправильно по двум причинам: во-первых, показатель степени неверен (должно быть \( c^2 \), а не \( c^5 \)), и во-вторых, результат корня пятой степени из неотрицательного числа не может быть отрицательным. Например, при \( c = -2 \): \( \sqrt[5]{(-2)^{10}} = \sqrt[5]{1024} = 4 = (-2)^2 \), а не \( -(-2)^5 = 32 \).
д) \( \sqrt[7]{a^{14}} = -a^7 \), \( a \leq 0 \) — это утверждение также ошибочно. Применим правило для корней: \( \sqrt[7]{a^{14}} = (a^{14})^{1/7} = a^{14/7} = a^2 \). Семь — нечётное число, поэтому корень нечётной степени определён для всех действительных чисел и может быть как положительным, так и отрицательным. Однако подкоренное выражение \( a^{14} \) — это число в чётной степени, которое всегда неотрицательно.
Правильный ответ: \( \sqrt[7]{a^{14}} = a^2 \) для всех действительных \( a \). Условие \( a \leq 0 \) не меняет результат, потому что \( a^{14} \geq 0 \) всегда, и корень нечётной степени из неотрицательного числа неотрицателен. Исходное утверждение \( -a^7 \) неправильно: показатель степени ошибочен (должно быть \( a^2 \), а не \( a^7 \)), и результат не может быть отрицательным при извлечении корня из неотрицательного числа. Проверим при \( a = -3 \): \( \sqrt[7]{(-3)^{14}} = \sqrt[7]{4782969} = 9 = (-3)^2 \), а не \( -(-3)^7 = 2187 \).
е) \( \sqrt[8]{b^8} = b^4 \) — это утверждение содержит ошибку в применении свойства корней чётной степени. Вычислим правильно: \( \sqrt[8]{b^8} = (b^8)^{1/8} = b^{8/8} = b^1 = b \) по абсолютному значению. Восемь — чётное число, поэтому корень восьмой степени всегда возвращает неотрицательное значение, что означает необходимость использования модуля.
Правильный ответ: \( \sqrt[8]{b^8} = |b| \). Это следует из определения корня чётной степени: мы ищем такое неотрицательное число, которое при возведении в восьмую степень даст \( b^8 \). Если \( b \) положительно, то \( \sqrt[8]{b^8} = b \), а если \( b \) отрицательно, то \( \sqrt[8]{b^8} = -b \). Исходное утверждение \( b^4 \) неправильно, так как показатель степени вычислен ошибочно. Например, при \( b = 2 \): \( \sqrt[8]{2^8} = \sqrt[8]{256} = 2 = |2| \), а не \( 2^4 = 16 \). При \( b = -2 \): \( \sqrt[8]{(-2)^8} = \sqrt[8]{256} = 2 = |-2| \), а не \( (-2)^4 = 16 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!