ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 478 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции, заданной формулой:

а) \( y = \frac{\sqrt{x^2}}{x} \)

б) \( y = \frac{-2\sqrt{x^2}}{x} \)

в) \( y = x\sqrt{x^2} \)

г) \( y = -x\sqrt{x^2} \)

а) \( y = \frac{\sqrt{x^2}}{x}, \quad
\begin{cases}
y = \frac{x}{x} = 1, & x > 0 \\
y = \frac{-x}{x} = -1, & x < 0 \end{cases} \)

б) \( y = -2 \frac{\sqrt{x^2}}{x}, \quad
\begin{cases}
y = -2 \frac{x}{x} = -2, & x > 0 \\
y = -2 \frac{-x}{x} = 2, & x < 0 \end{cases} \)

в) \( y = x \sqrt{x^2}, \quad
\begin{cases}
y = x \cdot x = x^2, & x > 0 \\
y = x \cdot (-x) = -x^2, & x < 0 \end{cases} \)

г) \( y = -x \sqrt{x^2}, \quad
\begin{cases}
y = -x \cdot x = -x^2, & x > 0 \\
y = -x \cdot (-x) = x^2, & x < 0 \end{cases} \)

а) \( y = \frac{\sqrt{x^2}}{x}, \quad
\begin{cases}
y = \frac{x}{x} = 1, & x > 0 \\
y = \frac{-x}{x} = -1, & x < 0
\end{cases} \)

Для начала рассмотрим выражение под корнем: \( \sqrt{x^2} \). По определению, корень квадратный из квадрата числа равен абсолютному значению этого числа, то есть \( \sqrt{x^2} = |x| \). Это важно, потому что абсолютное значение всегда неотрицательно, независимо от знака \( x \).

Далее подставляем это в исходное выражение: \( y = \frac{|x|}{x} \). При \( x > 0 \), абсолютное значение \( |x| = x \), поэтому дробь равна \( \frac{x}{x} = 1 \). При \( x < 0 \), абсолютное значение \( |x| = -x \), так как \( x \) отрицательно, и тогда дробь равна \( \frac{-x}{x} = -1 \). Таким образом, функция принимает два значения в зависимости от знака \( x \).

б) \( y = -2 \frac{\sqrt{x^2}}{x}, \quad \begin{cases} y = -2 \frac{x}{x} = -2, & x > 0 \\
y = -2 \frac{-x}{x} = 2, & x < 0
\end{cases} \)

Здесь мы используем то же преобразование: \( \sqrt{x^2} = |x| \). Тогда \( y = -2 \frac{|x|}{x} \). При \( x > 0 \), \( |x| = x \), и выражение становится \( y = -2 \frac{x}{x} = -2 \). При \( x < 0 \), \( |x| = -x \), и выражение равно \( y = -2 \frac{-x}{x} = 2 \). Таким образом, функция принимает постоянные значения, но меняет знак в зависимости от знака \( x \). При положительных \( x \) функция равна -2, при отрицательных — 2.

в) \( y = x \sqrt{x^2}, \quad \begin{cases} y = x \cdot x = x^2, & x > 0 \\
y = x \cdot (-x) = -x^2, & x < 0
\end{cases} \)

Опять используем \( \sqrt{x^2} = |x| \). Тогда \( y = x \cdot |x| \). Если \( x > 0 \), то \( |x| = x \), и функция становится \( y = x \cdot x = x^2 \), что является параболой, направленной вверх.

Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и функция равна \( y = x \cdot (-x) = -x^2 \), то есть парабола, направленная вниз. Таким образом, функция меняет своё выражение в зависимости от знака \( x \), что отражается и на графике.

г) \( y = -x \sqrt{x^2}, \quad \begin{cases} y = -x \cdot x = -x^2, & x > 0 \\
y = -x \cdot (-x) = x^2, & x < 0
\end{cases} \)

Используем \( \sqrt{x^2} = |x| \), тогда \( y = -x \cdot |x| \). При \( x > 0 \), \( |x| = x \), и функция равна \( y = -x \cdot x = -x^2 \), что даёт параболу, направленную вниз.

При \( x < 0 \), \( |x| = -x \), и функция равна \( y = -x \cdot (-x) = x^2 \), то есть парабола, направленная вверх. Таким образом, функция меняет знак и форму в зависимости от знака \( x \), что видно на графике.