Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 48 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что значение дроби не зависит от \(n\), где \(n\) — натуральное число:
a) \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}\)
б) \(\frac{16^{n+1} — 2^{4n+4}}{4 \cdot 2^{2n}(2^{3n} — 1)}\)
а) \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n} = \frac{3^n(3^2 — 1)}{3^n(3^2 + 3 + 1)} = \frac{9 — 1}{9 + 3 + 1} = \frac{8}{13}\)
не зависит от \(n\).
б) \(\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)} = \frac{2^{4(n+1)} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)} = \frac{2^{4n+4} — 2^{n+4}}{2^2 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)} = \frac{2^{4n+4} — 2^{n+4}}{2^{n+2} (2^{3n} — 1)} = \frac{2^{n+4}(2^{3n} — 1)}{2^{n+2} (2^{3n} — 1)} =\) \(= 2^{2} = 4\)
не зависит от \(n\).
а) Рассмотрим выражение \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}\). Для упрощения сначала вынесем общий множитель \(3^n\) из числителя и знаменателя, так как все слагаемые содержат степень с основанием 3 и показателем, зависящим от \(n\). В числителе получаем \(3^n(3^2 — 1)\), а в знаменателе — \(3^n(3^2 + 3 + 1)\). Это позволяет сократить \(3^n\) в числителе и знаменателе, так как \(3^n \neq 0\).
Далее вычисляем оставшиеся выражения в скобках. В числителе \(3^2 — 1 = 9 — 1 = 8\), а в знаменателе \(3^2 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13\). Таким образом, исходное выражение сводится к \(\frac{8}{13}\), что не зависит от значения \(n\), поскольку все степени \(3^n\) были сокращены.
б) Для выражения \(\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)}\) сначала представим 16 как степень двойки: \(16 = 2^4\). Тогда числитель станет \(2^{4(n+1)} — 2^{n+4}\). В знаменателе произведение \(4 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)\) можно записать как \(2^2 \cdot 2^n (2^{3n} — 1) = 2^{n+2} (2^{3n} — 1)\).
Теперь в числителе выделим общий множитель \(2^{n+4}\), получая \(2^{n+4}(2^{3n} — 1)\). Подставляя это в дробь, видим, что числитель и знаменатель имеют общий множитель \(2^{n+2}(2^{3n} — 1)\), который можно сократить. После сокращения остаётся \(2^{2} = 4\), что не зависит от \(n\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!