ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 48 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что значение дроби не зависит от \(n\), где \(n\) — натуральное число:
a) \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}\)
б) \(\frac{16^{n+1} — 2^{4n+4}}{4 \cdot 2^{2n}(2^{3n} — 1)}\)

а) \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n} = \frac{3^n(3^2 — 1)}{3^n(3^2 + 3 + 1)} = \frac{9 — 1}{9 + 3 + 1} = \frac{8}{13}\)
не зависит от \(n\).

б) \(\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)} = \frac{2^{4(n+1)} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)} = \frac{2^{4n+4} — 2^{n+4}}{2^2 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)} = \frac{2^{4n+4} — 2^{n+4}}{2^{n+2} (2^{3n} — 1)} = \frac{2^{n+4}(2^{3n} — 1)}{2^{n+2} (2^{3n} — 1)} =\) \(= 2^{2} = 4\)
не зависит от \(n\).

а) Рассмотрим выражение \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}\). Для упрощения сначала вынесем общий множитель \(3^n\) из числителя и знаменателя, так как все слагаемые содержат степень с основанием 3 и показателем, зависящим от \(n\). В числителе получаем \(3^n(3^2 — 1)\), а в знаменателе — \(3^n(3^2 + 3 + 1)\). Это позволяет сократить \(3^n\) в числителе и знаменателе, так как \(3^n \neq 0\).

Далее вычисляем оставшиеся выражения в скобках. В числителе \(3^2 — 1 = 9 — 1 = 8\), а в знаменателе \(3^2 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13\). Таким образом, исходное выражение сводится к \(\frac{8}{13}\), что не зависит от значения \(n\), поскольку все степени \(3^n\) были сокращены.

б) Для выражения \(\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)}\) сначала представим 16 как степень двойки: \(16 = 2^4\). Тогда числитель станет \(2^{4(n+1)} — 2^{n+4}\). В знаменателе произведение \(4 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)\) можно записать как \(2^2 \cdot 2^n (2^{3n} — 1) = 2^{n+2} (2^{3n} — 1)\).

Теперь в числителе выделим общий множитель \(2^{n+4}\), получая \(2^{n+4}(2^{3n} — 1)\). Подставляя это в дробь, видим, что числитель и знаменатель имеют общий множитель \(2^{n+2}(2^{3n} — 1)\), который можно сократить. После сокращения остаётся \(2^{2} = 4\), что не зависит от \(n\).