ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 480 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Преобразуйте выражение:
а) \(\sqrt{a^4 b^4}\);
б) \(\sqrt{b^6 c^8}\), где \(b > 0\);
в) \(\sqrt{16 x^4 y^{12}}\);
г) \(\sqrt{0,25 p^2 y^6}\), где \(p > 0\), \(y \leq 0\);
д) \(\sqrt{\frac{p^4}{a^8}}\);
е) \(\sqrt{\frac{16 a^{12}}{b^{10}}}\), где \(b > 0\);
ж) \(\sqrt{\frac{4 x^2}{y^6}}\), где \(x < 0\), \(y < 0\); з) \(\sqrt{\frac{c^6}{9 a^2}}\), где \(c < 0\), \(a > 0\).

\( \text{а) } \sqrt{a^4 b^4} = a^2 b^2 \)

\( \text{б) } \sqrt{b^6 c^8} = b^3 c^4 \)

\( \text{в) } \sqrt{16 x^4 y^{12}} = 4 x^2 y^6 \)

\( \text{г) } \sqrt{0{,}25 p^2 y^6} = 0{,}5 p (-y)^3 = -0{,}5 p y^3 \)

\( \text{д) } \sqrt{\frac{p^4}{a^8}} = \frac{p^2}{a^4} \)

\( \text{е) } \sqrt{\frac{16 a^{12}}{b^{10}}} = \frac{4 a^6}{b^5} \)

\( \text{ж) } \sqrt{\frac{4 x^2}{y^6}} = \frac{-2 x}{-y^3} = \frac{2 x}{y^3} \)

\( \text{з) } \sqrt{\frac{c^6}{9 a^2}} = \frac{-c^3}{3 a} = -\frac{c^3}{3 a} \)

а) \( \sqrt{a^4 b^4} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^4} \). Корень из произведения равен произведению корней. Поскольку \(a^4 = (a^2)^2\), то извлечение корня даёт \(a^2\). Аналогично для \(b^4\) получается \(b^2\). Поэтому выражение равно \(a^2 b^2\).

При извлечении корня из степени с чётным показателем степень делится на два, так как \(\sqrt{x^{2n}} = x^n\). Здесь оба основания \(a\) и \(b\) возведены в четвёртую степень, значит, корень из них — это квадраты этих переменных.

б) \( \sqrt{b^6 c^8} = \sqrt{b^6} \cdot \sqrt{c^8} \). Для \(b^6\) степень 6 делим на 2, получаем \(b^3\). Для \(c^8\) делим 8 на 2, получаем \(c^4\). Таким образом, результат — \(b^3 c^4\).

При извлечении корня из степени с чётным показателем степень уменьшается вдвое. Это обусловлено тем, что корень — это степень с показателем \(\frac{1}{2}\), и при умножении степеней показатели складываются: \(x^{m} = (x^{n})^{k}\), где \(m = n \cdot k\).

в) \( \sqrt{16 x^4 y^{12}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{y^{12}} \). Корень из 16 равен 4, так как \(4^2 = 16\). Для \(x^4\) делим степень на 2, получаем \(x^2\). Для \(y^{12}\) делим 12 на 2, получаем \(y^6\). Итог: \(4 x^2 y^6\).

Корень из произведения разбивается на произведение корней, что упрощает вычисления. Число 16 — полный квадрат, поэтому корень из него — целое число 4. Переменные под корнем имеют степени, кратные 2, что позволяет легко извлечь корень.

г) \( \sqrt{0{,}25 p^2 y^6} = \sqrt{0{,}25} \cdot \sqrt{p^2} \cdot \sqrt{y^6} \). Корень из 0,25 равен 0,5, так как \(0{,}5^2 = 0{,}25\). Корень из \(p^2\) — \(p\). Корень из \(y^6\) — \(y^3\).

Знак минус появляется из-за того, что \(y^6 = (y^2)^3\), и под корнем \(y^6\) можно представить как \(( — y )^3\), учитывая знак переменной. В итоге получается \(0{,}5 p (-y)^3 = -0{,}5 p y^3\).

д) \( \sqrt{\frac{p^4}{a^8}} = \frac{\sqrt{p^4}}{\sqrt{a^8}} \). Извлекаем корень из числителя: \(p^4 = (p^2)^2\), корень даёт \(p^2\). Извлекаем корень из знаменателя: \(a^8 = (a^4)^2\), корень даёт \(a^4\). Итог: \(\frac{p^2}{a^4}\).

При извлечении корня из дроби корень числителя делится на корень знаменателя. Это упрощает выражение и помогает избежать сложных операций с дробями под корнем.

е) \( \sqrt{\frac{16 a^{12}}{b^{10}}} = \frac{\sqrt{16 a^{12}}}{\sqrt{b^{10}}} \). Корень из 16 равен 4. Корень из \(a^{12}\) равен \(a^6\), так как \(12/2=6\). Корень из \(b^{10}\) равен \(b^5\). Итог: \(\frac{4 a^6}{b^5}\).

Здесь важно помнить, что корень из степени с чётным показателем — это степень с половинным показателем, что приводит к делению степени на 2. Для чисел и переменных под корнем это правило одинаково.

ж) \( \sqrt{\frac{4 x^2}{y^6}} = \frac{\sqrt{4 x^2}}{\sqrt{y^6}} \). Корень из 4 — 2, корень из \(x^2\) — \(x\), корень из \(y^6\) — \(y^3\). Следовательно, \(\frac{2 x}{y^3}\).

В решении знак минус появляется, если учитывать, что корень из \(y^6\) может быть \(\pm y^3\). В данном случае знак меняется в дроби, что даёт равенство \(\frac{-2 x}{-y^3} = \frac{2 x}{y^3}\).

з) \( \sqrt{\frac{c^6}{9 a^2}} = \frac{\sqrt{c^6}}{\sqrt{9 a^2}} \). Корень из \(c^6\) равен \(c^3\), так как \(6/2=3\). Корень из 9 равен 3, корень из \(a^2\) равен \(a\). Итог: \(\frac{c^3}{3 a}\).

Минус в ответе появляется, если учитывать знак корня и условия задачи, что даёт \(-\frac{c^3}{3 a}\). Это важно для правильной записи результата с учётом знаков.