ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 481 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \(\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3) + 1}\) является натуральным числом?
1) Выберите произвольное значение \(n\) и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении \(n(n+1)(n+2)(n+3)\), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

Пусть \( n = 2 \):
\[
\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3) + 1} = \sqrt{2(2+1)(2+2)(2+3) + 1} = \\
= \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1} = \sqrt{120 + 1} = \sqrt{121} = 11 — \text{натуральное число.}
\]

Докажем:
\[
\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3) + 1} = \sqrt{n(n+3)(n+1)(n+2) + 1} = \\
= \sqrt{(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1} = \sqrt{(n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n) + 1} = \\
= \sqrt{\left((n^2 + 3n) + 1\right)^2} = n^2 + 3n + 1,
\]

так как \( n \) — натуральное число, то значение выражения тоже натуральное число.

Пусть \( n = 2 \): рассчитаем значение выражения под корнем. Подставляем \( n \) в выражение \( n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 \), то есть \( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1 \). Произведение \( 2 \cdot 3 = 6 \), затем \( 6 \cdot 4 = 24 \), и \( 24 \cdot 5 = 120 \). Добавляя 1, получаем \( 120 + 1 = 121 \). Теперь вычислим корень: \( \sqrt{121} = 11 \). Число 11 является натуральным, что подтверждает, что для \( n=2 \) выражение под корнем даёт натуральное число.

Докажем теперь общее утверждение для любого натурального \( n \). Начинаем с выражения \( \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3) + 1} \). Переставим множители, учитывая, что умножение коммутативно: \( n(n+3)(n+1)(n+2) + 1 \). Группируем пары: \( (n(n+3)) \cdot ((n+1)(n+2)) + 1 \). Вычислим каждую пару отдельно: \( n(n+3) = n^2 + 3n \), а \( (n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2 \).

Подставим обратно: \( (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1 \). Раскроем скобки произведения: \( (n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n) + 1 \). Обратим внимание, что это выражение имеет вид квадрата суммы: \( (a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1 \), где \( a = n^2 + 3n \). Значит, подкоренное выражение равно \( ((n^2 + 3n) + 1)^2 \).

Следовательно, \( \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3) + 1} = (n^2 + 3n + 1) \). Поскольку \( n \) — натуральное число, то и \( n^2 + 3n + 1 \) — натуральное число, так как сумма и произведение натуральных чисел остаются натуральными. Таким образом, для любого натурального \( n \) выражение под корнем является квадратом натурального числа, а само значение — натуральным числом.