ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 482 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\sqrt{(-a)^2}\);
б) \(\sqrt{(-a)^2 (-b)^4}\).

\( \text{а) } \sqrt{(-a)^2} = \sqrt{a^2} = |a| \)

\( \text{б) } \sqrt{(-a)^2(-b)^4} = \sqrt{a^2 b^4} = |a| b^2 \)

а) \( \sqrt{(-a)^2} = \sqrt{a^2} \) — здесь мы используем свойство степени: возведение числа в квадрат убирает знак минус, так как \( (-a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2 \). Корень квадратный из квадрата числа равен самому числу по абсолютной величине, поэтому результатом будет \( |a| \), так как корень всегда неотрицателен.

Таким образом, \( \sqrt{a^2} = |a| \), где модуль \( |a| \) показывает расстояние числа \( a \) от нуля на числовой оси, игнорируя знак. Это важно, чтобы результат выражения был корректен для всех значений \( a \), как положительных, так и отрицательных.

б) \( \sqrt{(-a)^2(-b)^4} = \sqrt{a^2 b^4} \) — здесь мы раскрываем степень для каждого множителя отдельно. Аналогично первому пункту, \( (-a)^2 = a^2 \), а \( (-b)^4 = b^4 \), так как четная степень убирает знак минус. Затем под корнем у нас произведение двух квадратов: \( a^2 \) и \( b^4 \).

Корень квадратный из произведения равен произведению корней, то есть \( \sqrt{a^2 b^4} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^4} \). По правилу корня из степени \( \sqrt{a^2} = |a| \), а \( \sqrt{b^4} = b^2 \), так как \( b^4 = (b^2)^2 \) и корень из квадрата \( b^2 \) равен \( |b^2| = b^2 \) при любых \( b \), поскольку \( b^2 \geq 0 \). В итоге получаем \( |a| b^2 \).