ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 484 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сравните числа:
а) \(0,2 \sqrt{200}\) и \(10 \sqrt{8}\);
б) \(7 \sqrt{\frac{32}{49}}\) и \(0,8 \sqrt{50}\);
в) \(0,5 \sqrt{108}\) и \(9 \sqrt{3}\);
г) \(\frac{5}{2} \sqrt{63}\) и \(4,5 \sqrt{28}\).

а) \( 0,2\sqrt{200} < 10\sqrt{8} \)

\( \sqrt{0,04 \cdot 200} < \sqrt{100 \cdot 8} \)

\( \sqrt{8} < \sqrt{800} \) ✓

б) \( 7\sqrt{\frac{32}{49}} = 0,8\sqrt{50} \)

\( \sqrt{49 \cdot \frac{32}{49}} = \sqrt{0,64 \cdot 50} \)

\( \sqrt{32} = \sqrt{32} \) ✓

в) \( 0,5\sqrt{108} < 9\sqrt{3} \)

\( \sqrt{0,25 \cdot 108} < \sqrt{81 \cdot 3} \)

\( \sqrt{27} < \sqrt{243} \) ✓

г) \( \frac{5}{2}\sqrt{63} < 4,5\sqrt{28} \)

\( \sqrt{\frac{25}{4} \cdot 63} < \sqrt{20,25 \cdot 28} \)

\( \sqrt{393,75} < \sqrt{567} \) ✓

а) \( 0,2\sqrt{200} < 10\sqrt{8} \)

Для сравнения двух выражений со степенями и корнями, нужно привести их к единому виду. Начнём с левой части: \( 0,2\sqrt{200} \). Представим это как корень из произведения: \( 0,2\sqrt{200} = \sqrt{0,2^2 \cdot 200} = \sqrt{0,04 \cdot 200} \). Вычислим произведение под корнем: \( 0,04 \cdot 200 = 8 \). Таким образом, левая часть равна \( \sqrt{8} \).

Теперь преобразуем правую часть: \( 10\sqrt{8} = \sqrt{10^2 \cdot 8} = \sqrt{100 \cdot 8} \). Вычислим произведение: \( 100 \cdot 8 = 800 \). Правая часть равна \( \sqrt{800} \). Сравниваем: \( \sqrt{8} < \sqrt{800} \), что верно, так как \( 8 < 800 \). Неравенство доказано.

б) \( 7\sqrt{\frac{32}{49}} = 0,8\sqrt{50} \)

Преобразуем левую часть выражения. Число \( 7 \) перед корнем можно внести под корень, возведя его в квадрат: \( 7\sqrt{\frac{32}{49}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{32}{49}} = \sqrt{49 \cdot \frac{32}{49}} \). При умножении на дробь число \( 49 \) в числителе и знаменателе сокращаются: \( \sqrt{49 \cdot \frac{32}{49}} = \sqrt{32} \).

Теперь работаем с правой частью: \( 0,8\sqrt{50} = \sqrt{0,8^2 \cdot 50} = \sqrt{0,64 \cdot 50} \). Вычислим произведение под корнем: \( 0,64 \cdot 50 = 32 \). Получаем \( \sqrt{32} \). Обе части равны \( \sqrt{32} \), следовательно, равенство верно.

в) \( 0,5\sqrt{108} < 9\sqrt{3} \)

Левую часть преобразуем, внося коэффициент под корень: \( 0,5\sqrt{108} = \sqrt{0,5^2 \cdot 108} = \sqrt{0,25 \cdot 108} \). Умножим: \( 0,25 \cdot 108 = 27 \). Таким образом, левая часть равна \( \sqrt{27} \).

Для правой части: \( 9\sqrt{3} = \sqrt{9^2 \cdot 3} = \sqrt{81 \cdot 3} \). Вычислим произведение: \( 81 \cdot 3 = 243 \). Правая часть равна \( \sqrt{243} \). Сравниваем подкоренные выражения: \( 27 < 243 \), поэтому \( \sqrt{27} < \sqrt{243} \). Неравенство доказано.

г) \( \frac{5}{2}\sqrt{63} < 4,5\sqrt{28} \)

Преобразуем левую часть, внося дробь под корень: \( \frac{5}{2}\sqrt{63} = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 \cdot 63} = \sqrt{\frac{25}{4} \cdot 63} \). Вычислим произведение: \( \frac{25}{4} \cdot 63 = \frac{25 \cdot 63}{4} = \frac{1575}{4} = 393,75 \). Левая часть равна \( \sqrt{393,75} \).

Для правой части: \( 4,5\sqrt{28} = \sqrt{4,5^2 \cdot 28} = \sqrt{20,25 \cdot 28} \). Вычислим произведение: \( 20,25 \cdot 28 = 567 \). Правая часть равна \( \sqrt{567} \). Сравниваем: \( 393,75 < 567 \), поэтому \( \sqrt{393,75} < \sqrt{567} \). Неравенство верно.