ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 485 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Расположите в порядке возрастания числа:

а) \(\frac{2}{3} \sqrt{72}\), \(\sqrt{30}\) и \(7 \sqrt{2}\);

б) \(5 \sqrt{\frac{7}{2}}\), \(\sqrt{17}\) и \(\frac{1}{2} \sqrt{62}\);

в) \(\frac{8}{\sqrt{0,2}}\), \(\sqrt{41}\) и \(\frac{2}{5} \sqrt{250}\);

г) \(12 \sqrt{0,5}\), \(\sqrt{89}\) и \(\frac{3}{4} \sqrt{160}\).

а) \( \frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{32}, \quad \sqrt{30}, \quad 7\sqrt{2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98} \)

\( \sqrt{30} < \frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{2}. \)

б) \( 5\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{25 \cdot 3{,}5} = \sqrt{87{,}5}, \quad \sqrt{17}, \quad \frac{1}{2}\sqrt{62} = \sqrt{\frac{62}{4}} = \sqrt{15{,}5} \)

\( \frac{1}{2}\sqrt{62} < \sqrt{17} < 5\sqrt{\frac{7}{2}}. \)

в) \( 8\sqrt{0{,}2} = \sqrt{64 \cdot 0{,}2} = \sqrt{12{,}8}, \quad \sqrt{41}, \quad \frac{2}{5}\sqrt{250} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot 250} = \sqrt{40} \)

\( 8\sqrt{0{,}2} < \frac{2}{5}\sqrt{250} < \sqrt{41}. \)

г) \( 12\sqrt{0{,}5} = \sqrt{144 \cdot 0{,}5} = \sqrt{72}, \quad \sqrt{89}, \quad \frac{3}{4}\sqrt{160} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 160} = \sqrt{90} \)

\( 12\sqrt{0{,}5} < \sqrt{89} < \frac{3}{4}\sqrt{160}. \)

а) Для сравнения корней необходимо привести все выражения к единому виду — подкоренному выражению. Преобразуем \( \frac{2}{3}\sqrt{72} \), внося коэффициент под знак корня: \( \frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{\frac{288}{9}} = \sqrt{32} \). Это позволяет нам сравнивать числа под корнем напрямую. Второе число уже представлено в нужном виде: \( \sqrt{30} \). Третье число преобразуем аналогично: \( 7\sqrt{2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98} \).

Теперь сравниваем подкоренные выражения: \( 30 < 32 < 98 \). Поскольку функция корня является возрастающей, порядок сохраняется и для самих корней: \( \sqrt{30} < \sqrt{32} < \sqrt{98} \), что означает \( \sqrt{30} < \frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{2} \). Этот метод работает потому, что все числа положительны, и извлечение корня не изменяет порядок сравнения.

б) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем все три выражения к виду с корнем. Для первого числа: \( 5\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{25 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{175}{2}} = \sqrt{87{,}5} \). Второе число остаётся без изменений: \( \sqrt{17} \). Третье число преобразуем, внося дробный коэффициент под корень: \( \frac{1}{2}\sqrt{62} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 62} = \sqrt{\frac{62}{4}} = \sqrt{15{,}5} \).

Сравниваем подкоренные выражения: \( 15{,}5 < 17 < 87{,}5 \). Следовательно, \( \sqrt{15{,}5} < \sqrt{17} < \sqrt{87{,}5} \), то есть \( \frac{1}{2}\sqrt{62} < \sqrt{17} < 5\sqrt{\frac{7}{2}} \). Важно отметить, что при внесении дроби под корень мы возводим её в квадрат, поэтому \( \frac{1}{2} \) становится \( \frac{1}{4} \), что даёт нам меньшее значение под корнем.

в) Преобразуем первое выражение, внося множитель под знак корня: \( 8\sqrt{0{,}2} = \sqrt{64 \cdot 0{,}2} = \sqrt{12{,}8} \). Второе число представлено в стандартном виде: \( \sqrt{41} \). Третье число требует внесения дроби под корень: \( \frac{2}{5}\sqrt{250} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot 250} = \sqrt{\frac{1000}{25}} = \sqrt{40} \).

Сравниваем подкоренные выражения: \( 12{,}8 < 40 < 41 \). Таким образом, \( \sqrt{12{,}8} < \sqrt{40} < \sqrt{41} \), что соответствует \( 8\sqrt{0{,}2} < \frac{2}{5}\sqrt{250} < \sqrt{41} \). Заметим, что при внесении \( \frac{2}{5} \) под корень получается \( \frac{4}{25} \), так как мы возводим коэффициент в квадрат, что существенно уменьшает значение подкоренного выражения.

г) Преобразуем первое выражение: \( 12\sqrt{0{,}5} = \sqrt{144 \cdot 0{,}5} = \sqrt{72} \). Второе число в стандартном виде: \( \sqrt{89} \). Третье число преобразуем внесением дроби: \( \frac{3}{4}\sqrt{160} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 160} = \sqrt{\frac{1440}{16}} = \sqrt{90} \).

Сравниваем подкоренные выражения: \( 72 < 89 < 90 \). Следовательно, \( \sqrt{72} < \sqrt{89} < \sqrt{90} \), то есть \( 12\sqrt{0{,}5} < \sqrt{89} < \frac{3}{4}\sqrt{160} \). В этом пункте все три числа находятся в относительно близком диапазоне, но порядок чётко определяется сравнением подкоренных выражений. При внесении \( \frac{3}{4} \) под корень мы получаем \( \frac{9}{16} \), что увеличивает подкоренное выражение по сравнению с исходным числом 160.