Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 486 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выполните умножение:
а) \( \sqrt{x}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \)
б) \( (\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{x} \)
в) \( \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \)
г) \( (\sqrt{m}-\sqrt{n})\sqrt{mn} \)
д) \( (\sqrt{x}+\sqrt{y})(2\sqrt{x}-\sqrt{y}) \)
е) \( (\sqrt{a}-\sqrt{b})(3\sqrt{a}+2\sqrt{b}) \)
ж) \( (2\sqrt{a}+\sqrt{b})(3\sqrt{a}-2\sqrt{b}) \)
з) \( (4\sqrt{x}-2x)(\sqrt{x}-2\sqrt{x}) \)
а) \( \sqrt{x}\left(\sqrt{a} — \sqrt{b}\right) = \sqrt{ax} — \sqrt{bx} \)
б) \( \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\sqrt{x} = x + \sqrt{xy} \)
в) \( \sqrt{ab}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) = a\sqrt{b} + b\sqrt{a} \)
г) \( \left(\sqrt{m} — \sqrt{n}\right)\sqrt{mn} = m\sqrt{n} — n\sqrt{m} \)
д) \( \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\left(2\sqrt{x} — \sqrt{y}\right) = 2x — \sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} — y = \) \( = 2x + \sqrt{xy} — y \)
е) \( \left(\sqrt{a} — \sqrt{b}\right)\left(3\sqrt{a} + 2\sqrt{b}\right) = 3a + 2\sqrt{ab} — 3\sqrt{ab} — 2b = \) \( = 3a — \sqrt{ab} — 2b \)
ж) \( \left(2\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\left(3\sqrt{a} — 2\sqrt{b}\right) = 6a — 4\sqrt{ab} + 3\sqrt{ab} — 2b = \) \( = 6a — \sqrt{ab} — 2b \)
з) \( \left(4\sqrt{x} — \sqrt{2x}\right)\left(\sqrt{x} — \sqrt{2x}\right) = 4x — 4x\sqrt{2} — x\sqrt{2} + 2x = \) \( = 6x — 5x\sqrt{2} \)
а) \( \sqrt{x}\left(\sqrt{a} — \sqrt{b}\right) = \sqrt{ax} — \sqrt{bx} \)
Для решения этого примера применяем распределительное свойство умножения относительно вычитания. Множитель \( \sqrt{x} \) умножаем на каждый член выражения в скобках. При умножении корней используем правило \( \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn} \), которое позволяет объединить подкоренные выражения под одним корнем.
Сначала умножаем \( \sqrt{x} \) на первый член \( \sqrt{a} \), получая \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{xa} = \sqrt{ax} \). Затем умножаем \( \sqrt{x} \) на второй член \( \sqrt{b} \), получая \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{xb} = \sqrt{bx} \). Знак между членами остаётся минусом, так как мы умножали на выражение с вычитанием. Таким образом, раскрытие скобок завершено корректно.
б) \( \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\sqrt{x} = x + \sqrt{xy} \)
В этом случае также применяется распределительное свойство, но множитель \( \sqrt{x} \) находится справа от скобок. Умножаем \( \sqrt{x} \) на каждый член суммы в скобках. Первый член: \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x \), так как корень в квадрате даёт подкоренное выражение. Второй член: \( \sqrt{y} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{yx} = \sqrt{xy} \).
Результат получается благодаря тому, что при умножении одинаковых корней они возводятся в квадрат и дают исходное число под корнем. При умножении различных корней мы объединяем подкоренные выражения, сохраняя порядок множителей под корнем (так как умножение коммутативно, \( \sqrt{xy} = \sqrt{yx} \)). Итоговое выражение содержит рациональное число и иррациональное число.
в) \( \sqrt{ab}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) = a\sqrt{b} + b\sqrt{a} \)
Здесь множитель \( \sqrt{ab} \) можно представить как произведение корней: \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \). Применяя распределительное свойство, умножаем этот множитель на каждый член в скобках. Первый член: \( \sqrt{ab} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = a\sqrt{b} \), так как \( \left(\sqrt{a}\right)^2 = a \).
Второй член: \( \sqrt{ab} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a} \cdot \left(\sqrt{b}\right)^2 = \sqrt{a} \cdot b = b\sqrt{a} \). Ключевой момент заключается в переупорядочении множителей под корнями и использовании свойства \( \left(\sqrt{n}\right)^2 = n \). Это позволяет избавиться от одного из корней в каждом слагаемом и получить смешанную форму с рациональным и иррациональным компонентами.
г) \( \left(\sqrt{m} — \sqrt{n}\right)\sqrt{mn} = m\sqrt{n} — n\sqrt{m} \)
Множитель \( \sqrt{mn} \) представляем как \( \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} \). Применяем распределительное свойство к разности в скобках. Первый член: \( \sqrt{m} \cdot \sqrt{mn} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \left(\sqrt{m}\right)^2 \cdot \sqrt{n} = m\sqrt{n} \). Второй член: \( \sqrt{n} \cdot \sqrt{mn} = \sqrt{n} \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{m} \cdot \left(\sqrt{n}\right)^2 = \sqrt{m} \cdot n = n\sqrt{m} \).
Процесс решения показывает, как произведение корней разбивается на отдельные множители, которые затем перегруппируются для выделения полных квадратов. Когда корень умножается сам на себя, он становится рациональным числом. Знак минуса сохраняется между членами, так как исходное выражение содержало разность. Результат демонстрирует симметрию: в первом слагаемом коэффициент \( m \) умножается на \( \sqrt{n} \), а во втором коэффициент \( n \) умножается на \( \sqrt{m} \).
д) \( \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\left(2\sqrt{x} — \sqrt{y}\right) = 2x — \sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} — y = \) \( = 2x + \sqrt{xy} — y \)
Это произведение двух двучленов, поэтому применяем правило «каждый на каждый». Умножаем первый член первого двучлена \( \sqrt{x} \) на оба члена второго: \( \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} = 2\left(\sqrt{x}\right)^2 = 2x \) и \( \sqrt{x} \cdot \left(-\sqrt{y}\right) = -\sqrt{xy} \). Затем умножаем второй член первого двучлена \( \sqrt{y} \) на оба члена второго: \( \sqrt{y} \cdot 2\sqrt{x} = 2\sqrt{xy} \) и \( \sqrt{y} \cdot \left(-\sqrt{y}\right) = -\left(\sqrt{y}\right)^2 = -y \).
После раскрытия скобок получаем четыре слагаемых: \( 2x — \sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} — y \). Затем приводим подобные члены, содержащие \( \sqrt{xy} \): \( -\sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} = \sqrt{xy} \). Итоговое выражение \( 2x + \sqrt{xy} — y \) содержит рациональные члены \( 2x \) и \( -y \), а также иррациональный член \( \sqrt{xy} \). Этот пример показывает важность правильного применения распределительного свойства и последующего приведения подобных членов.
е) \( \left(\sqrt{a} — \sqrt{b}\right)\left(3\sqrt{a} + 2\sqrt{b}\right) = 3a + 2\sqrt{ab} — 3\sqrt{ab} — 2b = \) \( = 3a — \sqrt{ab} — 2b \)
Снова применяем правило произведения двух двучленов. Первый член первого двучлена \( \sqrt{a} \) умножаем на оба члена второго: \( \sqrt{a} \cdot 3\sqrt{a} = 3\left(\sqrt{a}\right)^2 = 3a \) и \( \sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} = 2\sqrt{ab} \). Второй член первого двучлена \( -\sqrt{b} \) умножаем на оба члена второго: \( -\sqrt{b} \cdot 3\sqrt{a} = -3\sqrt{ab} \) и \( -\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{b} = -2\left(\sqrt{b}\right)^2 = -2b \).
После раскрытия получаем: \( 3a + 2\sqrt{ab} — 3\sqrt{ab} — 2b \). Приводим подобные иррациональные члены: \( 2\sqrt{ab} — 3\sqrt{ab} = -\sqrt{ab} \). Окончательный результат: \( 3a — \sqrt{ab} — 2b \). Этот пример демонстрирует, как коэффициенты при корнях влияют на процесс приведения подобных членов и как важно внимательно отслеживать знаки при раскрытии скобок.
ж) \( \left(2\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\left(3\sqrt{a} — 2\sqrt{b}\right) = 6a — 4\sqrt{ab} + 3\sqrt{ab} — 2b = \) \( = 6a — \sqrt{ab} — 2b \)
Применяем распределительное свойство для произведения двучленов. Первый член первого двучлена \( 2\sqrt{a} \) умножаем на оба члена второго: \( 2\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{a} = 6\left(\sqrt{a}\right)^2 = 6a \) и \( 2\sqrt{a} \cdot \left(-2\sqrt{b}\right) = -4\sqrt{ab} \). Второй член первого двучлена \( \sqrt{b} \) умножаем на оба члена второго: \( \sqrt{b} \cdot 3\sqrt{a} = 3\sqrt{ab} \) и \( \sqrt{b} \cdot \left(-2\sqrt{b}\right) = -2\left(\sqrt{b}\right)^2 = -2b \).
Раскрытие скобок даёт: \( 6a — 4\sqrt{ab} + 3\sqrt{ab} — 2b \). Приводим подобные члены с \( \sqrt{ab} \): \( -4\sqrt{ab} + 3\sqrt{ab} = -\sqrt{ab} \). Финальное выражение: \( 6a — \sqrt{ab} — 2b \). Интересно отметить, что несмотря на различные коэффициенты в исходных двучленах (2 и 1 в первом, 3 и 2 во втором), результат содержит только один иррациональный член с коэффициентом \( -1 \).
з) \( \left(4\sqrt{x} — \sqrt{2x}\right)\left(\sqrt{x} — \sqrt{2x}\right) = 4x — 4x\sqrt{2} — x\sqrt{2} + 2x = \) \( = 6x — 5x\sqrt{2} \)
Здесь применяется то же правило произведения двучленов, но с более сложными подкоренными выражениями. Первый член первого двучлена \( 4\sqrt{x} \) умножаем на оба члена второго: \( 4\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = 4\left(\sqrt{x}\right)^2 = 4x \) и \( 4\sqrt{x} \cdot \left(-\sqrt{2x}\right) = -4\sqrt{x \cdot 2x} = -4\sqrt{2x^2} = -4x\sqrt{2} \), так как \( \sqrt{x^2} = x \) (при положительном \( x \)).
Второй член первого двучлена \( -\sqrt{2x} \) умножаем на оба члена второго: \( -\sqrt{2x} \cdot \sqrt{x} = -\sqrt{2x \cdot x} = -\sqrt{2x^2} = -x\sqrt{2} \) и \( -\sqrt{2x} \cdot \left(-\sqrt{2x}\right) = \left(\sqrt{2x}\right)^2 = 2x \). После раскрытия скобок получаем: \( 4x — 4x\sqrt{2} — x\sqrt{2} + 2x \). Приводим подобные рациональные члены: \( 4x + 2x = 6x \). Приводим подобные иррациональные члены: \( -4x\sqrt{2} — x\sqrt{2} = -5x\sqrt{2} \). Итоговый результат: \( 6x — 5x\sqrt{2} \). Этот пример показывает, как при работе с корнями вида \( \sqrt{2x} \) необходимо правильно упрощать произведения, выделяя полные квадраты из подкоренных выражений.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!