ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 487 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x) \)

б) \( (\sqrt{a}+2)(a-2\sqrt{a}+4) \)

в) \( (\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+n+\sqrt{mn}) \)

г) \( (x+\sqrt{y})(x^2+y-x\sqrt{y}) \)

а) \( (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x) = 1+\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-x-x\sqrt{x} = \) \( = 1-x\sqrt{x} \)

б) \( (\sqrt{a}+2)(a-2\sqrt{a}+4) = a\sqrt{a}-2a+4\sqrt{a}+2a-4\sqrt{a}+8 = \) \( = a\sqrt{a}+8 \)

в) \( (\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+n+\sqrt{mn}) = m\sqrt{m}+n\sqrt{m}+m\sqrt{n}-m\sqrt{n}- \) \( -n\sqrt{n}-n\sqrt{m} = m\sqrt{m}-n\sqrt{n} \)

г) \( (x+\sqrt{y})(x^2+y-x\sqrt{y}) = x^3+xy-x^2\sqrt{y}+x^2\sqrt{y}+y\sqrt{y}- \) \( -xy = x^3+y\sqrt{y} \)

а) \( (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x) = 1+\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-x-x\sqrt{x} = 1-x\sqrt{x} \)

Для решения этого примера применяем формулу разности кубов в обратном направлении. Заметим, что выражение \( (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x) \) имеет вид \( (a-b)(a^2+ab+b^2) \), где \( a=1 \) и \( b=\sqrt{x} \). Раскрываем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй скобки: \( 1 \cdot 1 = 1 \), \( 1 \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x} \), \( 1 \cdot x = x \), затем \( -\sqrt{x} \cdot 1 = -\sqrt{x} \), \( -\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = -x \), \( -\sqrt{x} \cdot x = -x\sqrt{x} \).

Собираем все полученные члены: \( 1+\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-x-x\sqrt{x} \). Видим, что \( \sqrt{x} \) и \( -\sqrt{x} \) взаимно уничтожаются, также \( x \) и \( -x \) сокращаются. Остаются только \( 1 \) и \( -x\sqrt{x} \), что дает нам окончательный результат \( 1-x\sqrt{x} \). Этот результат соответствует формуле \( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \), где \( a^3-b^3 = 1^3-(\sqrt{x})^3 = 1-x\sqrt{x} \).

б) \( (\sqrt{a}+2)(a-2\sqrt{a}+4) = a\sqrt{a}-2a+4\sqrt{a}+2a-4\sqrt{a}+8 =\) \(= a\sqrt{a}+8 \)

Данное выражение также соответствует формуле суммы кубов \( (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \), где \( a=\sqrt{a} \) и \( b=2 \). Раскрываем скобки последовательно: \( \sqrt{a} \cdot a = a\sqrt{a} \), \( \sqrt{a} \cdot (-2\sqrt{a}) = -2a \), \( \sqrt{a} \cdot 4 = 4\sqrt{a} \), затем \( 2 \cdot a = 2a \), \( 2 \cdot (-2\sqrt{a}) = -4\sqrt{a} \), \( 2 \cdot 4 = 8 \).

Суммируем все члены: \( a\sqrt{a}-2a+4\sqrt{a}+2a-4\sqrt{a}+8 \). Замечаем, что \( -2a \) и \( 2a \) сокращаются, а также \( 4\sqrt{a} \) и \( -4\sqrt{a} \) взаимно уничтожаются. Остаются \( a\sqrt{a} \) и \( 8 \), что можно записать как \( a\sqrt{a}+8 \) или \( (\sqrt{a})^3+2^3 \). Это подтверждает применение формулы суммы кубов, где результат равен \( a\sqrt{a}+8 \).

в) \( (\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+n+\sqrt{mn}) = m\sqrt{m}+n\sqrt{m}+m\sqrt{n}-m\sqrt{n}-\) \(-n\sqrt{n}-n\sqrt{m} = m\sqrt{m}-n\sqrt{n} \)

Здесь мы имеем дело с формулой разности кубов \( (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 \), где \( a=\sqrt{m} \) и \( b=\sqrt{n} \). Раскрываем скобки, перемножая каждый член первой скобки на каждый член второй: \( \sqrt{m} \cdot m = m\sqrt{m} \), \( \sqrt{m} \cdot n = n\sqrt{m} \), \( \sqrt{m} \cdot \sqrt{mn} = m\sqrt{n} \), затем \( -\sqrt{n} \cdot m = -m\sqrt{n} \), \( -\sqrt{n} \cdot n = -n\sqrt{n} \), \( -\sqrt{n} \cdot \sqrt{mn} = -n\sqrt{m} \).

Объединяем полученные члены: \( m\sqrt{m}+n\sqrt{m}+m\sqrt{n}-m\sqrt{n}-n\sqrt{n}-n\sqrt{m} \). Видим, что \( n\sqrt{m} \) и \( -n\sqrt{m} \) сокращаются, а также \( m\sqrt{n} \) и \( -m\sqrt{n} \) взаимно уничтожаются. Остаются только \( m\sqrt{m} \) и \( -n\sqrt{n} \), что дает результат \( m\sqrt{m}-n\sqrt{n} \). Это соответствует формуле \( (\sqrt{m})^3-(\sqrt{n})^3 = m\sqrt{m}-n\sqrt{n} \).

г) \( (x+\sqrt{y})(x^2+y-x\sqrt{y}) = x^3+xy-x^2\sqrt{y}+x^2\sqrt{y}+y\sqrt{y}-xy =\) \(= x^3+y\sqrt{y} \)

Это выражение соответствует формуле суммы кубов \( (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \), где \( a=x \) и \( b=\sqrt{y} \). Раскрываем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй: \( x \cdot x^2 = x^3 \), \( x \cdot y = xy \), \( x \cdot (-x\sqrt{y}) = -x^2\sqrt{y} \), затем \( \sqrt{y} \cdot x^2 = x^2\sqrt{y} \), \( \sqrt{y} \cdot y = y\sqrt{y} \), \( \sqrt{y} \cdot (-x\sqrt{y}) = -xy \).

Собираем все полученные члены: \( x^3+xy-x^2\sqrt{y}+x^2\sqrt{y}+y\sqrt{y}-xy \). Замечаем, что \( xy \) и \( -xy \) сокращаются, а также \( -x^2\sqrt{y} \) и \( x^2\sqrt{y} \) взаимно уничтожаются. Остаются \( x^3 \) и \( y\sqrt{y} \), что дает окончательный результат \( x^3+y\sqrt{y} \). Это соответствует формуле суммы кубов, где \( x^3+(\sqrt{y})^3 = x^3+y\sqrt{y} \).