ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 488 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде квадрата суммы или квадрата разности выражение:

а) \( x-4\sqrt{x-1}+3 \)

б) \( y+2\sqrt{y+2}+3 \)

\( \text{а) } x — 4\sqrt{x-1} + 3 = (x-1) — 2 \cdot 2\sqrt{x-1} + 4 = \)
\( = \left(\sqrt{x-1}\right)^2 — 2 \cdot 2 \sqrt{x-1} + 4 = \left(\sqrt{x-1} — 2\right)^2 \)

\( \text{б) } y + 2 \sqrt{y} + 2 + 3 = (y+2) + 2 \sqrt{y+2} + 1 = \)
\( = \left(\sqrt{y+2}\right)^2 + 2 \sqrt{y+2} + 1 = \left(\sqrt{y+2} + 1\right)^2 \)

а) \( x — 4\sqrt{x-1} + 3 = (x-1) — 2 \cdot 2 \sqrt{x-1} + 4 = \)
В этом выражении сначала перепишем \( x \) как \( (x-1) + 1 \), чтобы выделить подкоренное выражение \( \sqrt{x-1} \). Заметим, что \( x-1 = (\sqrt{x-1})^2 \), что позволяет представить первый член как квадрат корня. Далее мы видим, что выражение содержит член с двойным произведением \( -4 \sqrt{x-1} \), который можно представить как \( -2 \cdot 2 \sqrt{x-1} \). Это наводит на мысль о применении формулы полного квадрата: \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \).

\( = \left(\sqrt{x-1}\right)^2 — 2 \cdot 2 \sqrt{x-1} + 4 = \left(\sqrt{x-1} — 2\right)^2 \)
Здесь \( a = \sqrt{x-1} \), а \( b = 2 \). Таким образом, выражение сводится к квадрату разности, что упрощает дальнейшие вычисления и позволяет легко работать с выражением при решении уравнений или упрощении.

б) \( y + 2 \sqrt{y} + 2 + 3 = (y+2) + 2 \sqrt{y+2} + 1 = \)
В этом выражении сначала сгруппируем \( y + 2 \) и заметим, что \( y + 2 = (\sqrt{y+2})^2 \). Далее выделим член \( 2 \sqrt{y} \), который преобразуем в \( 2 \sqrt{y+2} \) с добавлением и вычитанием единицы, чтобы привести выражение к форме полного квадрата. Это делается для того, чтобы применить формулу \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

\( = \left(\sqrt{y+2}\right)^2 + 2 \sqrt{y+2} + 1 = \left(\sqrt{y+2} + 1\right)^2 \)
Здесь \( a = \sqrt{y+2} \), а \( b = 1 \). Таким образом, исходное выражение преобразуется в квадрат суммы, что значительно упрощает его анализ и дальнейшее использование в задачах.