ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 489 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) \( \sqrt{6+4\sqrt{2}}=2+\sqrt{2} \)

б) \( \sqrt[3]{8\sqrt{3}+19}=\sqrt{3}+4 \)

\( \text{а) } \sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2} \)
\( \left(\sqrt{6 + 4\sqrt{2}}\right)^2 = (2 + \sqrt{2})^2 \)
\( 6 + 4\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} + 2 \)
\( 6 + 4\sqrt{2} = 6 + 4\sqrt{2} — \text{верно}. \)

\( \text{б) } \sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{3} + 4 \)
\( \left(\sqrt{8\sqrt{3} + 19}\right)^2 = (\sqrt{3} + 4)^2 \)
\( 8\sqrt{3} + 19 = 3 + 8\sqrt{3} + 16 \)
\( 8\sqrt{3} + 19 = 8\sqrt{3} + 19 — \text{верно}. \)

а) \( \sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2} \)
Для проверки равенства сначала возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. Это стандартный приём, когда под корнем стоит выражение, которое может быть представлено в виде квадрата суммы. Возводим в квадрат левую часть:
\( \left(\sqrt{6 + 4\sqrt{2}}\right)^2 = 6 + 4\sqrt{2} \).
Правая часть при возведении в квадрат даёт:
\( (2 + \sqrt{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 \).

Теперь сравним полученные выражения:
\( 6 + 4\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} + 2 \).
Сложим правую часть:
\( 4 + 2 = 6 \),
значит,
\( 6 + 4\sqrt{2} = 6 + 4\sqrt{2} \),
что подтверждает правильность исходного равенства. Таким образом, исходное выражение под корнем действительно равно сумме \( 2 + \sqrt{2} \).

б) \( \sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{3} + 4 \)
Для проверки этого равенства также возьмём квадрат обеих частей, чтобы проверить, совпадают ли они после возведения в квадрат. Левая часть без изменений:
\( \left(\sqrt{8\sqrt{3} + 19}\right)^2 = 8\sqrt{3} + 19 \).
Правая часть при возведении в квадрат:
\( (\sqrt{3} + 4)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 4 + 4^2 = 3 + 8\sqrt{3} + 16 \).

Сложим числа справа:
\( 3 + 16 = 19 \),
поэтому правая часть равна
\( 8\sqrt{3} + 19 \),
что совпадает с левой частью. Следовательно, исходное равенство верно. Такой способ проверки позволяет убедиться, что корень выражается в виде суммы, что облегчает работу с выражением и позволяет упростить вычисления.