ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 49 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Приведите к знаменателю \(24a^3b^2\) следующие дроби:
\(\frac{5b}{8a^3}\), \(\frac{7a}{3b^2}\), \(\frac{1}{2ab^3}\), \(\frac{2}{a^2b^2}\)

\(\frac{5b}{8a^3} \cdot \frac{3b^2}{3b^2} = \frac{5b \cdot 3b^2}{8a^3 \cdot 3b^2} = \frac{15b^3}{24a^3b^2}\)

\(\frac{7a}{3b^2} = \frac{7a \cdot 8a^3}{3b^2 \cdot 8a^3} = \frac{56a^4}{24a^3b^2}\)

\(\frac{1}{2ab} = \frac{1 \cdot 12a^2b}{2ab \cdot 12a^2b} = \frac{12a^2b}{24a^3b^2}\)

\(\frac{2}{a^2b^2} = \frac{2 \cdot 24a}{a^2b^2 \cdot 24a} = \frac{48a}{24a^3b^2}\)

Начинаем с выражения \(\frac{5b}{8a^3} \cdot \frac{3b^2}{3b^2}\). Здесь мы умножаем дробь на дробь, где числитель и знаменатель второго множителя равны, то есть равны 1, поэтому значение выражения не изменится. Умножаем числители: \(5b \cdot 3b^2 = 15b^3\), и знаменатели: \(8a^3 \cdot 3b^2 = 24a^3b^2\). В итоге получаем дробь \(\frac{15b^3}{24a^3b^2}\). Это позволяет представить выражение в виде, удобном для дальнейших преобразований.

Рассмотрим выражение \(\frac{7a}{3b^2}\). Чтобы привести его к виду, аналогичному предыдущему, умножаем числитель и знаменатель на \(8a^3\), что эквивалентно умножению на 1 и не изменяет значение дроби. В числителе получается \(7a \cdot 8a^3 = 56a^4\), а в знаменателе — \(3b^2 \cdot 8a^3 = 24a^3b^2\). В итоге имеем дробь \(\frac{56a^4}{24a^3b^2}\). При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, поэтому \(a \cdot a^3 = a^4\).

Далее смотрим на выражение \(\frac{1}{2ab}\). Умножаем числитель и знаменатель на \(12a^2b\), что не меняет значение дроби, так как это умножение на 1. Числитель становится равен \(12a^2b\), а знаменатель — \(2ab \cdot 12a^2b = 24a^3b^2\). Получаем дробь \(\frac{12a^2b}{24a^3b^2}\). Здесь важно отметить, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются: \(a \cdot a^2 = a^3\), \(b \cdot b = b^2\).

Наконец, рассмотрим \(\frac{2}{a^2b^2}\). Умножаем числитель и знаменатель на \(24a\), что эквивалентно умножению на 1. В числителе получается \(2 \cdot 24a = 48a\), а в знаменателе — \(a^2b^2 \cdot 24a = 24a^3b^2\). Итоговое выражение — \(\frac{48a}{24a^3b^2}\). При умножении степеней \(a^2 \cdot a = a^3\), что отражается в знаменателе. Такая форма удобна для дальнейшего сокращения или сравнения с другими дробями.