Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 490 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
а) \( x^2-6 \) при \( x=1+\sqrt{5} \)
б) \( x^2-6x \) при \( x=3-\sqrt{3} \)
в) \( x^2-4x+3 \) при \( x=2+\sqrt{3} \)
г) \( x^2-3x+5 \) при \( x=\frac{3+\sqrt{2}}{2} \)
\( \text{а) при } x = 1 + \sqrt{5} \)
\( x^2 — 6 = (1 + \sqrt{5})^2 — 6 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 — 6 = 2\sqrt{5} \)
\( \text{б) при } x = 3 — \sqrt{3} \)
\( x^2 — 6x = (3 — \sqrt{3})^2 — 6(3 — \sqrt{3}) = 9 — 6\sqrt{3} + 3 — 18 + 6\sqrt{3} = -6 \)
\( \text{в) при } x = 2 + \sqrt{3} \)
\( x^2 — 4x + 3 = (2 + \sqrt{3})^2 — 4(2 + \sqrt{3}) + 3 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 — 8 — 4\sqrt{3} + 3 = 2 \)
\( \text{г) } x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} \)
\(
x^2 — 3x + 5 = \left(\frac{3 + \sqrt{2}}{2}\right)^2 — 3 \cdot \frac{3 + \sqrt{2}}{2} + 5 = \frac{9 + 6\sqrt{2} + 2}{4} — \frac{9 + 3\sqrt{2}}{2} + 5 = \\
= \frac{11 + 6\sqrt{2}}{4} — \frac{18 + 6\sqrt{2}}{4} + 5 = \frac{11 + 6\sqrt{2} — 18 — 6\sqrt{2}}{4} + 5 = \frac{-7}{4} + 5 = -\frac{7}{4} + \frac{20}{4} = \frac{13}{4}
\)
а) при \( x = 1 + \sqrt{5} \)
Для начала вычислим \( x^2 \). По формуле квадрата суммы:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), где \( a=1 \), \( b=\sqrt{5} \).
Подставляем:
\( (1 + \sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 \).
Теперь подставим в выражение \( x^2 — 6 \):
\( x^2 — 6 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 — 6 \).
Выполняем арифметические действия с числами:
\( 1 + 5 — 6 = 0 \), остается только \( 2\sqrt{5} \).
Итог:
\( x^2 — 6 = 2\sqrt{5} \).
б) при \( x = 3 — \sqrt{3} \)
Сначала найдём \( x^2 \) по формуле квадрата разности:
\( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \), где \( a=3 \), \( b=\sqrt{3} \).
Подставим:
\( (3 — \sqrt{3})^2 = 9 — 6\sqrt{3} + 3 = 12 — 6\sqrt{3} \).
Теперь вычислим \( -6x \):
\( -6(3 — \sqrt{3}) = -18 + 6\sqrt{3} \).
Сложим \( x^2 \) и \( -6x \):
\( 12 — 6\sqrt{3} — 18 + 6\sqrt{3} \).
Обратим внимание, что \( -6\sqrt{3} \) и \( +6\sqrt{3} \) взаимно уничтожаются.
Остаётся:
\( 12 — 18 = -6 \).
Ответ:
\( x^2 — 6x = -6 \).
в) при \( x = 2 + \sqrt{3} \)
Вычислим сначала \( x^2 \) по формуле квадрата суммы:
\( (2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \).
Теперь найдём \( -4x \):
\( -4(2 + \sqrt{3}) = -8 — 4\sqrt{3} \).
Подставим в выражение \( x^2 — 4x + 3 \):
\( (7 + 4\sqrt{3}) + (-8 — 4\sqrt{3}) + 3 \).
Сгруппируем числа и корни:
\( (7 — 8 + 3) + (4\sqrt{3} — 4\sqrt{3}) = 2 + 0 = 2 \).
Итог:
\( x^2 — 4x + 3 = 2 \).
г) при \( x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} \)
Сначала возьмём квадрат \( x^2 \):
\[
\left(\frac{3 + \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(3 + \sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{9 + 6\sqrt{2} + 2}{4} = \frac{11 + 6\sqrt{2}}{4}.
\]
Теперь найдём \( -3x \):
\[
-3 \cdot \frac{3 + \sqrt{2}}{2} = \frac{-9 — 3\sqrt{2}}{2} = \frac{-18 — 6\sqrt{2}}{4}.
\]
Подставим всё в выражение \( x^2 — 3x + 5 \):
\[
\frac{11 + 6\sqrt{2}}{4} + \frac{-18 — 6\sqrt{2}}{4} + 5.
\]
Сложим дроби:
\[
\frac{11 + 6\sqrt{2} — 18 — 6\sqrt{2}}{4} + 5 = \frac{-7}{4} + 5.
\]
Преобразуем 5 к дроби с знаменателем 4:
\[
5 = \frac{20}{4}.
\]
Сложим:
\[
\frac{-7}{4} + \frac{20}{4} = \frac{13}{4}.
\]
Ответ:
\( x^2 — 3x + 5 = \frac{13}{4} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!