ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 491 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что значения выражений \( \sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}} \) и \( \sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}} \) являются натуральными числами.

\( \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 + 2 \cdot 2\sqrt{3}} + \)
\( + \sqrt{4 + 3 — 2 \cdot 2\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} + \sqrt{(2 — \sqrt{3})^2} = \)
\( = 2 + \sqrt{3} + 2 — \sqrt{3} = 4 — \text{натуральное число}. \)

\( \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{(7 + 4\sqrt{3})(7 — 4\sqrt{3})} = \)
\( = \sqrt{49 — 16 \cdot 3} = \sqrt{49 — 48} = \sqrt{1} = 1 — \text{натуральное число}. \)

\[
\sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 + 2 \cdot 2 \sqrt{3}} + \sqrt{4 + 3 — 2 \cdot 2 \sqrt{3}} =
\]

В первом шаге мы представляем выражения под корнями в виде суммы квадратов и удвоенного произведения, чтобы распознать их как квадраты бинома. В частности, \(7\) разбиваем на \(4 + 3\), а \(4\sqrt{3}\) — как \(2 \cdot 2\sqrt{3}\). Это позволяет записать подкоренные выражения как \(\left(2 + \sqrt{3}\right)^2\) и \(\left(2 — \sqrt{3}\right)^2\) соответственно. Такой подход основан на формуле квадрата суммы и разности: \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\).

\[
= \sqrt{\left(2 + \sqrt{3}\right)^2} + \sqrt{\left(2 — \sqrt{3}\right)^2} = 2 + \sqrt{3} + 2 — \sqrt{3} = 4
\]

Так как корень квадратный из квадрата числа равен самому числу (учитывая положительный корень), мы можем просто убрать знак корня, оставив выражение без корней. Далее складываем полученные числа: \(2 + \sqrt{3}\) и \(2 — \sqrt{3}\). При сложении иррациональные части взаимно уничтожаются, так как \(\sqrt{3}\) и \(-\sqrt{3}\) дают ноль, и остаётся сумма целых частей — \(2 + 2 = 4\). Это число является натуральным, что и требовалось показать.

\[
\sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{\left(7 + 4\sqrt{3}\right) \left(7 — 4\sqrt{3}\right)} =
\]

Во втором выражении мы перемножаем два корня, что эквивалентно корню из произведения подкоренных выражений. Применяем формулу разности квадратов: \((a+b)(a-b) = a^2 — b^2\), где \(a=7\), \(b=4\sqrt{3}\). Это позволяет упростить выражение под корнем до разности квадратов.

\[
= \sqrt{49 — 16 \cdot 3} = \sqrt{49 — 48} = \sqrt{1} = 1
\]

Вычисляем квадраты: \(7^2 = 49\) и \(\left(4\sqrt{3}\right)^2 = 16 \cdot 3 = 48\). Разность \(49 — 48\) даёт 1. Корень квадратный из 1 равен 1, что также является натуральным числом. Таким образом, произведение данных корней даёт целое натуральное число, что подтверждает правильность преобразований и вычислений.