Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 492 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения есть число рациональное:
а) \( \frac{1}{3\sqrt{2}-5}-\frac{1}{3\sqrt{2}+5} \)
б) \( \frac{1}{7+2\sqrt{6}}-\frac{1}{7-2\sqrt{6}} \)
\( \text{а) } \frac{1}{3\sqrt{2}-5} — \frac{1}{3\sqrt{2}+5} = \frac{3\sqrt{2}+5 — (3\sqrt{2}-5)}{(3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5)} = \frac{10}{9 \cdot 2 — 25} = \frac{10}{18 — 25} = \frac{10}{-7} = -1 \frac{3}{7} \) — рациональное число.
\( \text{б) } \frac{1}{7 + 2\sqrt{6}} + \frac{1}{7 — 2\sqrt{6}} = \frac{7 — 2\sqrt{6} + 7 + 2\sqrt{6}}{(7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6})} = \frac{14}{49 — 4 \cdot 6} = \frac{14}{49 — 24} = \frac{14}{25} \) — рациональное число.
а) Рассмотрим выражение \( \frac{1}{3\sqrt{2} — 5} — \frac{1}{3\sqrt{2} + 5} \). Для того чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей: \( (3\sqrt{2} — 5)(3\sqrt{2} + 5) \). Обратите внимание, что это выражение является разностью квадратов, так как имеет вид \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \).
Вычислим знаменатель: \( (3\sqrt{2})^2 — 5^2 = 9 \cdot 2 — 25 = 18 — 25 = -7 \). Теперь запишем разность дробей с общим знаменателем:
\( \frac{1 \cdot (3\sqrt{2} + 5)}{(3\sqrt{2} — 5)(3\sqrt{2} + 5)} — \frac{1 \cdot (3\sqrt{2} — 5)}{(3\sqrt{2} + 5)(3\sqrt{2} — 5)} = \frac{3\sqrt{2} + 5 — (3\sqrt{2} — 5)}{-7} \).
Упростим числитель: \( 3\sqrt{2} + 5 — 3\sqrt{2} + 5 = 10 \). Получаем дробь \( \frac{10}{-7} = -\frac{10}{7} = -1 \frac{3}{7} \). Это рациональное число, так как оно представлено в виде отношения двух целых чисел.
б) Рассмотрим сумму \( \frac{1}{7 + 2\sqrt{6}} + \frac{1}{7 — 2\sqrt{6}} \). Аналогично предыдущему примеру, для сложения дробей нужно привести их к общему знаменателю, который равен произведению знаменателей: \( (7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6}) \). Это тоже разность квадратов: \( 7^2 — (2\sqrt{6})^2 = 49 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25 \).
Запишем сумму с общим знаменателем:
\( \frac{1 \cdot (7 — 2\sqrt{6})}{(7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6})} + \frac{1 \cdot (7 + 2\sqrt{6})}{(7 — 2\sqrt{6})(7 + 2\sqrt{6})} = \frac{7 — 2\sqrt{6} + 7 + 2\sqrt{6}}{25} \).
Упростим числитель: \( 7 — 2\sqrt{6} + 7 + 2\sqrt{6} = 14 \). Итоговое выражение: \( \frac{14}{25} \), которое является рациональным числом, так как это отношение двух целых чисел.
Таким образом, в обоих случаях, несмотря на наличие иррациональных чисел в знаменателях, после приведения к общему знаменателю и упрощения получается рациональное число. Это происходит благодаря свойству разности квадратов, которое позволяет избавиться от корней в знаменателе.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!