ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 492 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения есть число рациональное:

а) \( \frac{1}{3\sqrt{2}-5}-\frac{1}{3\sqrt{2}+5} \)

б) \( \frac{1}{7+2\sqrt{6}}-\frac{1}{7-2\sqrt{6}} \)

\( \text{а) } \frac{1}{3\sqrt{2}-5} — \frac{1}{3\sqrt{2}+5} = \frac{3\sqrt{2}+5 — (3\sqrt{2}-5)}{(3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5)} = \frac{10}{9 \cdot 2 — 25} = \frac{10}{18 — 25} = \frac{10}{-7} = -1 \frac{3}{7} \) — рациональное число.

\( \text{б) } \frac{1}{7 + 2\sqrt{6}} + \frac{1}{7 — 2\sqrt{6}} = \frac{7 — 2\sqrt{6} + 7 + 2\sqrt{6}}{(7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6})} = \frac{14}{49 — 4 \cdot 6} = \frac{14}{49 — 24} = \frac{14}{25} \) — рациональное число.

а) Рассмотрим выражение \( \frac{1}{3\sqrt{2} — 5} — \frac{1}{3\sqrt{2} + 5} \). Для того чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей: \( (3\sqrt{2} — 5)(3\sqrt{2} + 5) \). Обратите внимание, что это выражение является разностью квадратов, так как имеет вид \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \).

Вычислим знаменатель: \( (3\sqrt{2})^2 — 5^2 = 9 \cdot 2 — 25 = 18 — 25 = -7 \). Теперь запишем разность дробей с общим знаменателем:
\( \frac{1 \cdot (3\sqrt{2} + 5)}{(3\sqrt{2} — 5)(3\sqrt{2} + 5)} — \frac{1 \cdot (3\sqrt{2} — 5)}{(3\sqrt{2} + 5)(3\sqrt{2} — 5)} = \frac{3\sqrt{2} + 5 — (3\sqrt{2} — 5)}{-7} \).

Упростим числитель: \( 3\sqrt{2} + 5 — 3\sqrt{2} + 5 = 10 \). Получаем дробь \( \frac{10}{-7} = -\frac{10}{7} = -1 \frac{3}{7} \). Это рациональное число, так как оно представлено в виде отношения двух целых чисел.

б) Рассмотрим сумму \( \frac{1}{7 + 2\sqrt{6}} + \frac{1}{7 — 2\sqrt{6}} \). Аналогично предыдущему примеру, для сложения дробей нужно привести их к общему знаменателю, который равен произведению знаменателей: \( (7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6}) \). Это тоже разность квадратов: \( 7^2 — (2\sqrt{6})^2 = 49 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25 \).

Запишем сумму с общим знаменателем:
\( \frac{1 \cdot (7 — 2\sqrt{6})}{(7 + 2\sqrt{6})(7 — 2\sqrt{6})} + \frac{1 \cdot (7 + 2\sqrt{6})}{(7 — 2\sqrt{6})(7 + 2\sqrt{6})} = \frac{7 — 2\sqrt{6} + 7 + 2\sqrt{6}}{25} \).

Упростим числитель: \( 7 — 2\sqrt{6} + 7 + 2\sqrt{6} = 14 \). Итоговое выражение: \( \frac{14}{25} \), которое является рациональным числом, так как это отношение двух целых чисел.

Таким образом, в обоих случаях, несмотря на наличие иррациональных чисел в знаменателях, после приведения к общему знаменателю и упрощения получается рациональное число. Это происходит благодаря свойству разности квадратов, которое позволяет избавиться от корней в знаменателе.