ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 493 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) \( \frac{1}{11-2\sqrt{30}}+\frac{1}{11+2\sqrt{30}} \)

б) \( \frac{5}{3+2\sqrt{2}}+\frac{5}{3-2\sqrt{2}} \)

в) \( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \)

г) \( \frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}}+\frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}} \)

\( \text{а) } \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} — \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} = \frac{11 + 2\sqrt{30} — 11 + 2\sqrt{30}}{(11 — 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})} = \)
\( = \frac{4\sqrt{30}}{121 — 4 \cdot 30} = \frac{4\sqrt{30}}{121 — 120} = 4\sqrt{30} \)

\( \text{б) } \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{5}{3 — 2\sqrt{2}} = \frac{5(3 — 2\sqrt{2}) + 5(3 + 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 — 2\sqrt{2})} = \)
\( = \frac{15 — 10\sqrt{2} + 15 + 10\sqrt{2}}{9 — 4 \cdot 2} = \frac{30}{9 — 8} = 30 \)

\( \text{в) } \frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} — \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} — \sqrt{3})} = \)
\( = \frac{5 — 2\sqrt{15} + 3 + 5 + 2\sqrt{15} + 3}{5 — 3} = \frac{16}{2} = 8 \)

\( \text{г) } \frac{11 + \sqrt{21}}{11 — \sqrt{21}} + \frac{11 — \sqrt{21}}{11 + \sqrt{21}} = \frac{(11 + \sqrt{21})^2 + (11 — \sqrt{21})^2}{(11 — \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})} = \)
\( = \frac{121 + 22\sqrt{21} + 21 + 121 — 22\sqrt{21} + 21}{121 — 21} = \frac{284}{100} = 2{,}84 \)

а) Рассмотрим выражение \( \frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} — \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} \). Чтобы упростить разность дробей с иррациональными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю, которым будет произведение знаменателей: \( (11 — 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) \). Это произведение представляет собой разность квадратов, так как \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \). Здесь \( a = 11 \), \( b = 2\sqrt{30} \), следовательно, знаменатель равен \( 11^2 — (2\sqrt{30})^2 = 121 — 4 \cdot 30 = 121 — 120 = 1 \).

В числителе выполняем вычитание: \( 11 + 2\sqrt{30} — (11 — 2\sqrt{30}) = 11 + 2\sqrt{30} — 11 + 2\sqrt{30} = 4\sqrt{30} \). Таким образом, после приведения к общему знаменателю и упрощения получаем \( \frac{4\sqrt{30}}{1} = 4\sqrt{30} \).

б) Выражение \( \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{5}{3 — 2\sqrt{2}} \) содержит две дроби с иррациональными знаменателями, которые нужно сложить. Для этого также приводим к общему знаменателю, равному произведению знаменателей: \( (3 + 2\sqrt{2})(3 — 2\sqrt{2}) \). Это разность квадратов, дающая \( 3^2 — (2\sqrt{2})^2 = 9 — 8 = 1 \).

В числителе складываем: \( 5(3 — 2\sqrt{2}) + 5(3 + 2\sqrt{2}) = 15 — 10\sqrt{2} + 15 + 10\sqrt{2} = 30 \), так как иррациональные части взаимно уничтожаются. Получаем итог: \( \frac{30}{1} = 30 \).

в) Рассмотрим сумму \( \frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} \). Чтобы сложить дроби, приводим к общему знаменателю \( (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} — \sqrt{3}) \), что равно разности квадратов: \( 5 — 3 = 2 \).

Числитель — сумма квадратов числителей: \( (\sqrt{5} — \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 \). Раскроем скобки:
\( (\sqrt{5} — \sqrt{3})^2 = 5 — 2\sqrt{15} + 3 = 8 — 2\sqrt{15} \),
\( (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} \).
Сложение даёт \( 8 — 2\sqrt{15} + 8 + 2\sqrt{15} = 16 \), так как иррациональные части взаимно уничтожаются.

Итог: \( \frac{16}{2} = 8 \).

г) Рассмотрим сумму \( \frac{11 + \sqrt{21}}{11 — \sqrt{21}} + \frac{11 — \sqrt{21}}{11 + \sqrt{21}} \). Общий знаменатель — произведение \( (11 — \sqrt{21})(11 + \sqrt{21}) = 11^2 — (\sqrt{21})^2 = 121 — 21 = 100 \).

Числитель — сумма квадратов числителей:
\( (11 + \sqrt{21})^2 + (11 — \sqrt{21})^2 = (121 + 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{21} + 21) +\) \(+ (121 — 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{21} + 21) \).
Складываем: \( 121 + 22\sqrt{21} + 21 + 121 — 22\sqrt{21} + 21 = 121 + 21 + 121 + 21 = 284 \), так как иррациональные части опять взаимно уничтожаются.

Получаем \( \frac{284}{100} = 2{,}84 \).