ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 494 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение дроби \( \frac{x^2-3xy+y^2}{x+y+2} \) при \( x=3+\sqrt{5} \) и \( y=3-\sqrt{5} \).

\(
\text{при } x = 3 + \sqrt{5}, \quad y = 3 — \sqrt{5}:
\)

\(
\text{Первый вариант:}
\)

\(
\frac{x^2 — 3xy + y^2}{x + y + 2} = \frac{(3 + \sqrt{5})^2 — 3(3 + \sqrt{5})(3 — \sqrt{5}) + (3 — \sqrt{5})^2}{3 + \sqrt{5} + 3 — \sqrt{5} + 2} =
\)

\(
= \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5 — 3(9 — 5) + 9 — 6\sqrt{5} + 5}{8} = \frac{28 — 27 + 15}{8} = \frac{16}{8} = 2.
\)

\(
\text{Второй вариант:}
\)

\(
\frac{x^2 — 3xy + y^2}{x + y + 2} = \frac{(x — y)^2 — xy}{x + y + 2} = \frac{(3 + \sqrt{5} — 3 + \sqrt{5})^2 — (3 + \sqrt{5})(3 — \sqrt{5})}{3 + \sqrt{5} + 3 — \sqrt{5} + 2} =
\)

\(
= \frac{(2\sqrt{5})^2 — (9 — 5)}{8} = \frac{4 \cdot 5 — 4}{8} = \frac{16}{8} = 2.
\)

\( \text{при } x=3+\sqrt{5}, \quad y=3-\sqrt{5}: \)

Первый вариант решения начинается с подстановки данных значений \( x \) и \( y \) в выражение \(\frac{x^2 — 3xy + y^2}{x + y + 2}\). Сначала вычисляем числитель, раскрывая скобки и возводя в квадрат. Для этого возьмём отдельно \( (3+\sqrt{5})^2 \), что даёт \( 9 + 6\sqrt{5} + 5 \), так как \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Аналогично вычисляем \( (3-\sqrt{5})^2 = 9 — 6\sqrt{5} + 5 \). Далее вычисляем произведение \( 3(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) \). Заметим, что \( (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 3^2 — (\sqrt{5})^2 = 9 — 5 = 4 \), поэтому это произведение равно \( 3 \cdot 4 = 12 \).

Теперь собираем числитель: \( 9 + 6\sqrt{5} + 5 — 12 + 9 — 6\sqrt{5} + 5 \). В этом выражении \( 6\sqrt{5} \) и \( -6\sqrt{5} \) взаимно уничтожаются, остаётся \( 9 + 5 — 12 + 9 + 5 = 16 \). Знаменатель \( x + y + 2 \) равен \( (3+\sqrt{5}) + (3-\sqrt{5}) + 2 = 3 + 3 + 2 + \sqrt{5} — \sqrt{5} = 8 \). Делим числитель на знаменатель и получаем \( \frac{16}{8} = 2 \).

Второй вариант решения использует другое преобразование исходного выражения. Выражение переписывается как \(\frac{(x-y)^2 — xy}{x + y + 2}\). Сначала найдём \( x — y = (3+\sqrt{5}) — (3-\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} \). Возводим это в квадрат: \( (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 \). Затем вычисляем произведение \( xy = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 9 — 5 = 4 \).

Подставляем значения в числитель: \( 20 — 4 = 16 \). Знаменатель, как и в первом варианте, равен \( 8 \). Следовательно, значение выражения равно \( \frac{16}{8} = 2 \). Этот способ короче, так как использует разложение и упрощение через разность и произведение \( x \) и \( y \), что позволяет избежать раскрытия всех квадратов и произведений.

Таким образом, оба варианта приводят к одному и тому же результату, подтверждая правильность вычислений и давая ответ \( 2 \).