ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 495 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) \(\frac{x\sqrt{x} — y\sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}}\);
б) \(\frac{2\sqrt{2} — x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x}\).

\( \text{а) } \frac{x \sqrt{x} — y \sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x^3} — \sqrt{y^3}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} = \frac{\left(\sqrt{x} — \sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x^2} + \sqrt{xy} + \sqrt{y^2}\right)}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} = \)
\( = x + \sqrt{xy} + y \)

\( \text{в) } \frac{2 \sqrt{2} — x \sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x} = \frac{\sqrt{2^3} — \sqrt{x^3}}{2 + \sqrt{2x} + x} = \frac{\left(\sqrt{2} — \sqrt{x}\right) \left(2 + \sqrt{2x} + x\right)}{2 + \sqrt{2x} + x} = \)
\( = \sqrt{2} — \sqrt{x} \)

а) Рассмотрим выражение \( \frac{x \sqrt{x} — y \sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} \). В числителе у нас разность произведений, которые можно переписать в виде корней кубов: \( x \sqrt{x} = \sqrt{x^3} \) и \( y \sqrt{y} = \sqrt{y^3} \). Значит, числитель равен \( \sqrt{x^3} — \sqrt{y^3} \). Знаменатель — это разность корней: \( \sqrt{x} — \sqrt{y} \).

Далее используем формулу разности кубов для корней: \( \sqrt{x^3} — \sqrt{y^3} = (\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x^2} + \sqrt{xy} + \sqrt{y^2}) \). Подставляя это в исходное выражение, получаем дробь с одинаковым множителем \( \sqrt{x} — \sqrt{y} \) в числителе и знаменателе, которые сокращаются. В итоге остаётся \( \sqrt{x^2} + \sqrt{xy} + \sqrt{y^2} \), что равно \( x + \sqrt{xy} + y \).

Таким образом, ответ:
\( \frac{x \sqrt{x} — y \sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} = x + \sqrt{xy} + y \).

в) Рассмотрим выражение \( \frac{2 \sqrt{2} — x \sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x} \). В числителе видим разность корней кубов: \( 2 \sqrt{2} = \sqrt{2^3} \), \( x \sqrt{x} = \sqrt{x^3} \). Значит, числитель можно представить как \( \sqrt{2^3} — \sqrt{x^3} \).

Используем формулу разности кубов для корней:
\( \sqrt{2^3} — \sqrt{x^3} = (\sqrt{2} — \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x) \). Подставим это в числитель, тогда дробь примет вид:
\( \frac{(\sqrt{2} — \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)}{2 + \sqrt{2x} + x} \).

В числителе и знаменателе одинаковый множитель \( 2 + \sqrt{2x} + x \) сокращается, и остаётся:
\( \sqrt{2} — \sqrt{x} \).

Итог:
\( \frac{2 \sqrt{2} — x \sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x} = \sqrt{2} — \sqrt{x} \).