ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 496 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) \(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}\);
б) \(\frac{a — \sqrt{3}a + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}}\).

\( а) \quad \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a \sqrt{a} + b \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) \left(\sqrt{a^2} — \sqrt{ab} + \sqrt{b^2}\right)} = \)
\( = \frac{1}{\sqrt{a^2} — \sqrt{ab} + \sqrt{b^2}} = \frac{1}{a — \sqrt{ab} + b} \)

\( б) \quad \frac{a — \sqrt{3}a + 3}{\sqrt{a^3} + \sqrt{3^3}} = \frac{a — \sqrt{3}a + 3}{\left(\sqrt{a} + \sqrt{3}\right) \left(a — \sqrt{3}a + 3\right)} = \)
\( = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}} \)

а) \( \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a \sqrt{a} + b \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}} \)

В числителе у нас сумма корней, а в знаменателе сумма кубических корней. Обратим внимание, что \( a \sqrt{a} = \sqrt{a^3} \), так как \( a \sqrt{a} = a \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{1 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}} = \sqrt{a^3} \). Аналогично для \( b \sqrt{b} \). Это позволяет переписать знаменатель в виде суммы кубических корней, что упрощает работу с выражением.

Далее применим формулу разложения суммы кубов: \( \sqrt{a^3} + \sqrt{b^3} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a^2} — \sqrt{ab} + \sqrt{b^2}) \). Это классическое разложение, которое позволяет упростить дробь. Поделим числитель и знаменатель на \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \), получая:
\( \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a^2} — \sqrt{ab} + \sqrt{b^2})} = \frac{1}{\sqrt{a^2} — \sqrt{ab} + \sqrt{b^2}} \).

Поскольку \( \sqrt{a^2} = a \) и \( \sqrt{b^2} = b \), итоговое выражение принимает вид:
\( \frac{1}{a — \sqrt{ab} + b} \), что и является ответом.

б) \( \frac{a — \sqrt{3}a + 3}{\sqrt{a^3} + \sqrt{3^3}} = \frac{a — \sqrt{3}a + 3}{\sqrt{a^3} + \sqrt{27}} \)

Здесь в числителе выражение \( a — \sqrt{3}a + 3 \), а в знаменателе сумма кубических корней: \( \sqrt{a^3} + \sqrt{3^3} \). Преобразуем знаменатель, заметив, что \( \sqrt{a^3} = a \sqrt{a} \), а \( \sqrt{3^3} = 3 \sqrt{3} \). Но удобнее представить сумму кубов в виде произведения:
\( \sqrt{a^3} + \sqrt{3^3} = (\sqrt{a} + \sqrt{3})(a — \sqrt{3}a + 3) \).

Это разложение суммы кубов для выражений с корнями. Тогда дробь можно переписать как:
\( \frac{a — \sqrt{3}a + 3}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})(a — \sqrt{3}a + 3)} \).

Теперь сокращаем числитель и знаменатель на \( a — \sqrt{3}a + 3 \), получая:
\( \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}} \).

Таким образом, исходное выражение упрощается до обратного значения суммы корней \( \sqrt{a} \) и \( \sqrt{3} \).