Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 497 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Сократите дробь:
а) \(\frac{\sqrt{70} — \sqrt{30}}{\sqrt{35} — \sqrt{15}}\);
б) \(\frac{\sqrt{15} — 5}{\sqrt{6} — \sqrt{10}}\);
в) \(\frac{9 — 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} — 2\sqrt{2}}\);
г) \(\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} — \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} — \sqrt{2}}\).
\(а) \quad \frac{\sqrt{70} — \sqrt{30}}{\sqrt{35} — \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{10} — \sqrt{3}\sqrt{10}}{\sqrt{5}\sqrt{7} — \sqrt{5}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{10}\left(\sqrt{7} — \sqrt{3}\right)}{\sqrt{5}\left(\sqrt{7} — \sqrt{3}\right)} =\)
\(= \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}\)
\(б) \quad \frac{\sqrt{15} — 5}{\sqrt{6} — \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{5} — \sqrt{5}\sqrt{5}}{\sqrt{3}\sqrt{2} — \sqrt{5}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\left(\sqrt{3} — \sqrt{5}\right)}{\sqrt{2}\left(\sqrt{3} — \sqrt{5}\right)} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\)
\(в) \quad \frac{9 — 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} — 2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{9}\sqrt{9} — 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}\sqrt{3} — 2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{33} — 2\sqrt{3}}{\sqrt{2}\left(3\sqrt{3} — 2\right)} =\)
\(= \frac{\sqrt{3}\left(3\sqrt{3} — 2\right)}{\sqrt{2}\left(3\sqrt{3} — 2\right)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(г) \quad \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} — \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} — \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{2} — \sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{3} — \sqrt{2}} =\)
\(= \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1\right)}{\sqrt{2}\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1\right)} = \sqrt{3}\)
а) \( \frac{\sqrt{70} — \sqrt{30}}{\sqrt{35} — \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{10} — \sqrt{3}\sqrt{10}}{\sqrt{5}\sqrt{7} — \sqrt{5}\sqrt{3}} \)
Здесь мы сначала раскладываем подкоренные выражения на произведения корней, чтобы выделить общие множители. В числителе выделяем общий множитель \( \sqrt{10} \), а в знаменателе — \( \sqrt{5} \). Это позволяет упростить дробь:
\( = \frac{\sqrt{10}(\sqrt{7} — \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{7} — \sqrt{3})} \)
Так как множители \( (\sqrt{7} — \sqrt{3}) \) в числителе и знаменателе одинаковы, их можно сократить, при условии, что они не равны нулю. После сокращения остаётся:
\( = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} \)
Далее выражаем корни через произведение: \( \sqrt{10} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \), и сокращаем \( \sqrt{5} \):
\( = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2} \).
б) \( \frac{\sqrt{15} — 5}{\sqrt{6} — \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{5} — \sqrt{5}\sqrt{5}}{\sqrt{3}\sqrt{2} — \sqrt{5}\sqrt{2}} \)
Подобно предыдущему пункту, раскладываем подкоренные выражения на множители. В числителе выделяем \( \sqrt{5} \), в знаменателе — \( \sqrt{2} \):
\( = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} — \sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3} — \sqrt{5})} \)
Здесь также можно сократить одинаковый множитель \( (\sqrt{3} — \sqrt{5}) \), при условии, что он не равен нулю. После сокращения остаётся:
\( = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \)
Это и есть окончательный ответ.
в) \( \frac{9 — 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} — 2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{9}\sqrt{9} — 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}\sqrt{3} — 2\sqrt{2}} \)
В числителе представляем 9 как \( \sqrt{9} \cdot \sqrt{9} \), а в знаменателе раскрываем произведения корней. Далее выделяем общий множитель в знаменателе:
\( = \frac{\sqrt{3}\sqrt{33} — 2\sqrt{3}}{\sqrt{2}(3\sqrt{3} — 2)} \)
В числителе и знаменателе выделяем общий множитель \( \sqrt{3} \) и \( (3\sqrt{3} — 2) \) соответственно:
\( = \frac{\sqrt{3}(3\sqrt{3} — 2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{3} — 2)} \)
Сокращаем одинаковый множитель \( (3\sqrt{3} — 2) \) и получаем:
\( = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \).
г) \( \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} — \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} — \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{2} — \sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{3} — \sqrt{2}} \)
Здесь мы представляем каждое слагаемое через произведение корней, чтобы увидеть общие множители. В числителе выделяем множитель \( \sqrt{2}\sqrt{3} \), а в знаменателе — \( \sqrt{2} \):
\( = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}(\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1)} \)
Теперь можно сократить общий множитель \( (\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1) \), при условии, что он не равен нулю:
\( = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
Сокращая \( \sqrt{2} \), получаем окончательный ответ:
\( = \sqrt{3} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!