ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 498 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) \(\frac{2\sqrt{10} — 5}{4 — \sqrt{10}}\);
б) \(\frac{(\sqrt{10} — 1)^2 — 3}{\sqrt{10} + \sqrt{3} — 1}\).

(а) \( \frac{2\sqrt{10} — 5}{4 — \sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{5}\sqrt{2} — \sqrt{5}\sqrt{5}}{\sqrt{4}\sqrt{4} — \sqrt{5}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} — \sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{3} — \sqrt{5})} = \)
\( = \frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} — \sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}\sqrt{3} — \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} — \sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{2} — \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \)

(б) \( \frac{\left(\sqrt{10} — 1\right)^2 — 3}{\sqrt{10} + \sqrt{3} — 1} = \frac{\left(\sqrt{10} — 1 — \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{10} — 1 + \sqrt{3}\right)}{\sqrt{10} — 1 + \sqrt{3}} = \)
\( = \sqrt{10} — 1 — \sqrt{3} \)

а) \( \frac{2\sqrt{10} — 5}{4 — \sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{5}\sqrt{2} — \sqrt{5}\sqrt{5}}{\sqrt{4}\sqrt{4} — \sqrt{5}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} — \sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{3} — \sqrt{5})} = \)
Для упрощения выражения сначала представим каждое слагаемое под корнем в виде произведения корней из простых чисел, чтобы выделить общий множитель. В числителе \( 2\sqrt{10} \) раскрываем как \( 2\sqrt{5}\sqrt{2} \), а число 5 — как \( \sqrt{5}\sqrt{5} \). В знаменателе число 4 расписываем как \( \sqrt{4}\sqrt{4} \), а \( \sqrt{10} \) — как \( \sqrt{5}\sqrt{2} \). Это позволяет вынести общий множитель \( \sqrt{5} \) из числителя и \( \sqrt{2} \) из знаменателя.

\( = \frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} — \sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{3} — \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} — \sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}\sqrt{3} — \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} — \sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{2} — \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \)
Далее в знаменателе раскрываем выражение \( 2\sqrt{3} \) как \( \sqrt{2}\sqrt{3} \), чтобы получить одинаковый множитель \( (2\sqrt{2} — \sqrt{5}) \) как в числителе, так и в знаменателе. После этого сокращаем одинаковые множители, что приводит к простому отношению \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \), являющемуся окончательным результатом.

б) \( \frac{\left(\sqrt{10} — 1\right)^2 — 3}{\sqrt{10} + \sqrt{3} — 1} = \frac{\left(\sqrt{10} — 1 — \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{10} — 1 + \sqrt{3}\right)}{\sqrt{10} — 1 + \sqrt{3}} = \)
В числителе применяем формулу разности квадратов: \( a^2 — b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = \sqrt{10} — 1 \), а \( b = \sqrt{3} \). Это позволяет разложить числитель на произведение двух выражений, одно из которых совпадает с частью знаменателя, что упрощает дальнейшие действия.

\( = \sqrt{10} — 1 — \sqrt{3} \)
После сокращения общего множителя \( \sqrt{10} — 1 + \sqrt{3} \) в числителе и знаменателе остаётся выражение \( \sqrt{10} — 1 — \sqrt{3} \), что и является окончательным ответом. Таким образом, задача сводится к использованию формулы разности квадратов и упрощению дроби путём сокращения.