ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 499 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}}\);
б) \(\frac{x — \sqrt{ax}}{a\sqrt{x}}\);
в) \(\frac{2\sqrt{3} — 3}{5\sqrt{3}}\).

\( \text{а) } \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{(1 + \sqrt{a})\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} + a}{a} \)

\( \text{б) } \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} = \frac{(y + b\sqrt{y})\sqrt{y}}{b\sqrt{y}\sqrt{y}} = \frac{y\sqrt{y} + b y}{b y} = \frac{y(\sqrt{y} + b)}{b y} = \frac{\sqrt{y} + b}{b} \)

\( \text{в) } \frac{2\sqrt{3} — 3}{5\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3} — 3)\sqrt{3}}{5\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 3 — 3 \sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{3(2 — \sqrt{3})}{5 \cdot 3} = \frac{2 — \sqrt{3}}{5} \)

а) \( \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{(1 + \sqrt{a})\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} + a}{a} \)

Для упрощения выражения в числителе и знаменателе необходимо избавиться от корня в знаменателе. Для этого умножаем и числитель, и знаменатель на \(\sqrt{a}\). В числителе получаем произведение двух выражений: \( (1 + \sqrt{a}) \) и \(\sqrt{a}\), что раскрывается как сумма двух слагаемых — \( \sqrt{a} \) и \( a \). В знаменателе произведение \(\sqrt{a}\) на \(\sqrt{a}\) даёт \( a \).

Таким образом, исходная дробь с корнем в знаменателе преобразована в более простую форму, где знаменатель — это уже не корень, а число \( a \). Итоговое выражение удобно для дальнейших вычислений или подстановок.

б) \( \frac{y + b \sqrt{y}}{b \sqrt{y}} = \frac{(y + b \sqrt{y}) \sqrt{y}}{b \sqrt{y} \sqrt{y}} = \frac{y \sqrt{y} + b y}{b y} = \frac{y (\sqrt{y} + b)}{b y} = \frac{\sqrt{y} + b}{b} \)

В данном случае также избавляемся от корня в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{y}\). В числителе раскрываем скобки: \( y \cdot \sqrt{y} + b \sqrt{y} \cdot \sqrt{y} \). Поскольку \(\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} = y\), получаем \( y \sqrt{y} + b y \).

Знаменатель становится \( b y \), так как \(\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} = y\). Далее выделяем общий множитель \( y \) в числителе и сокращаем с ним знаменатель, остаётся выражение \( \frac{\sqrt{y} + b}{b} \), что является более простой формой исходной дроби.

в) \( \frac{2 \sqrt{3} — 3}{5 \sqrt{3}} = \frac{(2 \sqrt{3} — 3) \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 3 — 3 \sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{3 (2 — \sqrt{3})}{5 \cdot 3} = \frac{2 — \sqrt{3}}{5} \)

Здесь знаменатель содержит корень \(\sqrt{3}\), который нужно убрать. Для этого умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\). В числителе раскрываем скобки: \( 2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} — 3 \cdot \sqrt{3} \), что даёт \( 2 \cdot 3 — 3 \sqrt{3} \).

В знаменателе произведение \( 5 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 \). Далее выделяем общий множитель 3 в числителе и знаменателе, сокращаем его, и получаем окончательный результат \( \frac{2 — \sqrt{3}}{5} \), где корень в знаменателе отсутствует.