ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 5 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Чему равно значение дроби \(\frac{(a+b)^2 — 1}{a^2 + 1}\) при:
а) \(a = -3, b = -1\);
б) \(a = 1\frac{1}{2}, b = 0,5\)?

а) при \(a = -3\), \(b = -1\):
\(\frac{(a + b)^2 — 1}{a^2 + 1} = \frac{(-3 — 1)^2 — 1}{(-3)^2 + 1} = \frac{(-4)^2 — 1}{9 + 1} = \frac{16 — 1}{10} = \frac{15}{10} = 1,5\).

б) при \(a = 1 \frac{1}{2}\), \(b = 0,5\):
\(\frac{\left(1 \frac{1}{2} + 0,5\right)^2 — 1}{\left(1 \frac{1}{2}\right)^2 + 1} = \frac{\left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right)^2 — 1}{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 1} = \frac{\left(\frac{2}{1}\right)^2 — 1}{\frac{9}{4} + 1} = \frac{4 — 1}{\frac{9}{4} + \frac{4}{4}} = \frac{3}{\frac{13}{4}} = 3 \cdot \frac{4}{13} = \frac{12}{13}\).

а) Рассмотрим выражение \(\frac{(a + b)^2 — 1}{a^2 + 1}\) при \(a = -3\) и \(b = -1\). Сначала вычислим сумму в числителе: \(a + b = -3 + (-1) = -4\). Далее возводим это значение в квадрат: \((-4)^2 = 16\). После этого из результата вычитаем 1, получая \(16 — 1 = 15\). В знаменателе вычисляем квадрат \(a\), то есть \((-3)^2 = 9\), и прибавляем 1, получается \(9 + 1 = 10\).

Теперь подставим вычисленные значения в дробь: \(\frac{15}{10}\). Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: \(\frac{15 \div 5}{10 \div 5} = \frac{3}{2} = 1,5\). Таким образом, значение выражения при данных \(a\) и \(b\) равно 1,5.

б) Для второго случая подставим \(a = 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) и \(b = 0,5 = \frac{1}{2}\) в выражение \(\frac{(a + b)^2 — 1}{a^2 + 1}\). Сначала вычислим сумму \(a + b = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Возводим сумму в квадрат: \(2^2 = 4\), и вычитаем 1, получаем \(4 — 1 = 3\).

В знаменателе возводим \(a\) в квадрат: \(\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\), затем прибавляем 1: \(\frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4}\). Теперь дробь принимает вид \(\frac{3}{\frac{13}{4}}\). Деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную, поэтому \(\frac{3}{\frac{13}{4}} = 3 \cdot \frac{4}{13} = \frac{12}{13}\).

Таким образом, при \(a = 1 \frac{1}{2}\) и \(b = 0,5\) значение выражения равно \(\frac{12}{13}\).