ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 50 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте выражение \(2a + b\) в виде дроби со знаменателем, равным:
а) \(b\);
б) \(5\);
в) \(3a\);
г) \(2a — b\).

а) \(2a + b = \frac{(2a + b)b}{b} = \frac{2ab + b^2}{b}\)

б) \(2a + b = \frac{(2a + b)5}{5} = \frac{10a + 5b}{5}\)

в) \(2a + b = \frac{(2a + b)3a}{3a} = \frac{6a^2 + 3ab}{3a}\)

г) \(2a + b = \frac{(2a + b)(2a — b)}{2a — b} = \frac{4a^2 — b^2}{2a — b}\)

а) Начинаем с выражения \(2a + b\), которое умножаем и делим на \(b\), чтобы получить дробь с одинаковым числителем и знаменателем: \(2a + b = \frac{(2a + b)b}{b}\). Это действие допустимо, так как деление на \(b\) и умножение на \(b\) взаимно уничтожаются, не изменяя значение выражения. Далее раскрываем скобки в числителе: \((2a + b)b = 2ab + b^2\). В итоге получаем дробь с числителем \(2ab + b^2\) и знаменателем \(b\), то есть \( \frac{2ab + b^2}{b} \).

Такое преобразование позволяет представить исходное выражение в виде дроби, где числитель — сумма произведений, а знаменатель — переменная \(b\). Это упрощает дальнейшие операции с выражением, особенно если нужно выполнить сложение или вычитание с другими дробями, у которых знаменатель совпадает или связан с \(b\). Важно помнить, что \(b \neq 0\), чтобы деление было корректным.

б) Здесь выражение \(2a + b\) умножаем и делим на число 5: \(2a + b = \frac{(2a + b)5}{5}\). Это позволяет записать выражение в виде дроби с числителем, равным произведению \((2a + b) \cdot 5\), и знаменателем 5. Раскрывая скобки в числителе, получаем \(10a + 5b\). Таким образом, выражение приобретает вид \(\frac{10a + 5b}{5}\).

Такое представление удобно для упрощения дробных выражений или для выполнения операций с другими дробями. Деление на 5 в знаменателе означает, что каждый член числителя делится на 5. Это может быть полезно для сокращения или приведения к общему знаменателю. Как и прежде, важно учитывать, что знаменатель не равен нулю.

в) В этом случае выражение \(2a + b\) умножается и делится на \(3a\): \(2a + b = \frac{(2a + b)3a}{3a}\). Это преобразование позволяет записать выражение в виде дроби с числителем \((2a + b)3a\) и знаменателем \(3a\). Раскрывая скобки в числителе, получаем \(6a^2 + 3ab\), где \(a^2\) — это \(a\), возведённое в квадрат.

Итоговое выражение — \(\frac{6a^2 + 3ab}{3a}\) — удобно для последующего упрощения или преобразования. При делении на \(3a\) каждый член числителя делится на этот множитель, что может привести к сокращению. Необходимо помнить, что \(a \neq 0\), чтобы избежать деления на ноль.

г) Выражение \(2a + b\) умножается и делится на \(2a — b\): \(2a + b = \frac{(2a + b)(2a — b)}{2a — b}\). В числителе раскрываем произведение двух биномиальных выражений по формуле разности квадратов: \((2a + b)(2a — b) = (2a)^2 — b^2 = 4a^2 — b^2\).

Таким образом, выражение принимает вид \(\frac{4a^2 — b^2}{2a — b}\). Это позволяет представить исходное выражение как дробь с числителем в виде разности квадратов и знаменателем \(2a — b\). Такое представление удобно для дальнейших алгебраических преобразований, например, для упрощения или разложения на множители. Необходимо, чтобы знаменатель \(2a — b \neq 0\).