ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 500 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}\);
б) \(\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\);
в) \(\frac{2 — 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\).

а) \( \frac{y + b \sqrt{y}}{b \sqrt{y}} = \frac{(y + b \sqrt{y}) \sqrt{y}}{b \sqrt{y} \sqrt{y}} = \frac{y \sqrt{y} + b y}{b y} = \frac{y (\sqrt{y} + b)}{b y} = \frac{\sqrt{y} + b}{b} \)

б) \( \frac{a \sqrt{b} + b \sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{(a \sqrt{b} + b \sqrt{a}) \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} \sqrt{ab}} = \frac{ab \sqrt{a} + ab \sqrt{b}}{ab} = \frac{ab (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{ab} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \)

в) \( \frac{2 \sqrt{3} — 3}{5 \sqrt{3}} = \frac{(2 \sqrt{3} — 3) \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 3 — 3 \sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{6 — 3 \sqrt{3}}{15} = \frac{2 — \sqrt{3}}{5} \)

а) \( \frac{y + b \sqrt{y}}{b \sqrt{y}} = \frac{(y + b \sqrt{y}) \sqrt{y}}{b \sqrt{y} \sqrt{y}} = \frac{y \sqrt{y} + b y}{b y} = \frac{y (\sqrt{y} + b)}{b y} = \frac{\sqrt{y} + b}{b} \)

В этом выражении в числителе у нас сумма \(y\) и произведения \(b\) на корень из \(y\). Чтобы упростить дробь, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{y}\), поскольку знаменатель содержит произведение \(b \sqrt{y}\), и это поможет избавиться от корня в знаменателе. При умножении числителя раскрываем скобки: \(y \cdot \sqrt{y} + b \sqrt{y} \cdot \sqrt{y} = y \sqrt{y} + b y\).

Далее в знаменателе \(\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} = y\), поэтому знаменатель становится \(b y\). В числителе можно вынести \(y\) за скобки: \(y (\sqrt{y} + b)\). После сокращения \(y\) в числителе и знаменателе остаётся выражение \(\frac{\sqrt{y} + b}{b}\).

б) \( \frac{a \sqrt{b} + b \sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{(a \sqrt{b} + b \sqrt{a}) \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} \sqrt{ab}} = \frac{ab \sqrt{a} + ab \sqrt{b}}{ab} = \frac{ab (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{ab} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \)

В числителе у нас сумма двух слагаемых: \(a \sqrt{b}\) и \(b \sqrt{a}\), а в знаменателе корень из произведения \(a\) и \(b\). Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{ab}\).

При умножении числителя раскрываем скобки: \(a \sqrt{b} \cdot \sqrt{ab} + b \sqrt{a} \cdot \sqrt{ab}\). Используем свойства корней: \(\sqrt{b} \cdot \sqrt{ab} = \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a} \cdot b\), аналогично для второго слагаемого. Таким образом, числитель становится \(ab \sqrt{a} + ab \sqrt{b}\).

Знаменатель равен \(\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab} = ab\). Теперь в числителе и знаменателе можно вынести и сократить \(ab\), остаётся \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\).

в) \( \frac{2 \sqrt{3} — 3}{5 \sqrt{3}} = \frac{(2 \sqrt{3} — 3) \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 3 — 3 \sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{6 — 3 \sqrt{3}}{15} = \frac{2 — \sqrt{3}}{5} \)

В этом выражении в числителе разность \(2 \sqrt{3}\) и 3, а в знаменателе произведение 5 и \(\sqrt{3}\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\).

В числителе при умножении раскрываем скобки: \(2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} — 3 \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 — 3 \sqrt{3} = 6 — 3 \sqrt{3}\).

В знаменателе \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\), значит знаменатель становится \(5 \cdot 3 = 15\). Далее сокращаем числитель и знаменатель на 3: \(\frac{6 — 3 \sqrt{3}}{15} = \frac{2 — \sqrt{3}}{5}\).