ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 501 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{x — \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} — \sqrt{y}}\);
б) \(\frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}}\);
в) \(\frac{1 — 2\sqrt{x} + 4x}{1 — 2\sqrt{x}}\);
г) \(\frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2}\).

а) \( \frac{x — \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} = \frac{\left(x — \sqrt{xy} + y\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x} — \sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} = \)
\( = \frac{\sqrt{x^3} + \sqrt{y^3}}{x — y} = \frac{x \sqrt{x} + y \sqrt{y}}{x — y} \)

б) \( \frac{9 + 3 \sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}} = \frac{\left(9 + 3 \sqrt{a} + a\right)\left(3 — \sqrt{a}\right)}{\left(3 + \sqrt{a}\right)\left(3 — \sqrt{a}\right)} = \)
\( = \frac{3^3 — \sqrt{a^3}}{9 — a} = \frac{27 — a \sqrt{a}}{9 — a} \)

в) \( \frac{1 — 2 \sqrt{x} + 4x}{1 — 2 \sqrt{x}} = \frac{\left(1 — 2 \sqrt{x} + 4x\right)\left(1 + 2 \sqrt{x}\right)}{\left(1 — 2 \sqrt{x}\right)\left(1 + 2 \sqrt{x}\right)} = \)
\( = \frac{1 + \left(2 \sqrt{x}\right)^3}{1 — 4x} = \frac{1 + 8x \sqrt{x}}{1 — 4x} \)

г) \( \frac{a^2 b + 2 a \sqrt{b} + 4}{a \sqrt{b} + 2} = \frac{\left(a^2 b + 2 a \sqrt{b} + 4\right)\left(a \sqrt{b} — 2\right)}{\left(a \sqrt{b} + 2\right)\left(a \sqrt{b} — 2\right)} = \)
\( = \frac{\left(a \sqrt{b}\right)^2 + 2 \cdot a \sqrt{b} \cdot 2 + 2^2}{a^2 b — 4} = \frac{a^3 b \sqrt{b} — 8}{a^2 b — 4} \)

а) Начинаем с выражения \( \frac{x — \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} \). Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя — \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \). Это стандартный приём для избавления от корней в знаменателе, так как произведение \( (\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x — y \) — разность квадратов.

После умножения получаем:
\( \frac{(x — \sqrt{xy} + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{(x — \sqrt{xy} + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x — y} \).

Раскроем числитель:
\( (x — \sqrt{xy} + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x \sqrt{x} + x \sqrt{y} — \sqrt{xy} \sqrt{x} — \sqrt{xy} \sqrt{y} + y \sqrt{x} + y \sqrt{y} \).

Обратите внимание, что \( \sqrt{xy} \sqrt{x} = \sqrt{x^2 y} = x \sqrt{y} \) и \( \sqrt{xy} \sqrt{y} = \sqrt{x y^2} = y \sqrt{x} \). Следовательно, слагаемые \( x \sqrt{y} \) и \( — x \sqrt{y} \), а также \( y \sqrt{x} \) и \( — y \sqrt{x} \) взаимно уничтожаются. Остаётся:
\( x \sqrt{x} + y \sqrt{y} \).

Итог:
\( \frac{x \sqrt{x} + y \sqrt{y}}{x — y} \).

б) Рассмотрим выражение \( \frac{9 + 3 \sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}} \). Аналогично первому пункту, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя — \( 3 — \sqrt{a} \), чтобы избавиться от корня в знаменателе.

Получаем:
\( \frac{(9 + 3 \sqrt{a} + a)(3 — \sqrt{a})}{(3 + \sqrt{a})(3 — \sqrt{a})} = \frac{(9 + 3 \sqrt{a} + a)(3 — \sqrt{a})}{9 — a} \).

Раскроем числитель:
\( 9 \cdot 3 — 9 \cdot \sqrt{a} + 3 \sqrt{a} \cdot 3 — 3 \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + a \cdot 3 — a \cdot \sqrt{a} \).

Упрощаем:
\( 27 — 9 \sqrt{a} + 9 \sqrt{a} — 3 a + 3 a — a \sqrt{a} \).

Видим, что \( -9 \sqrt{a} \) и \( +9 \sqrt{a} \), а также \( -3 a \) и \( +3 a \) взаимно уничтожаются, остаётся:
\( 27 — a \sqrt{a} \).

Итог:
\( \frac{27 — a \sqrt{a}}{9 — a} \).

в) В выражении \( \frac{1 — 2 \sqrt{x} + 4x}{1 — 2 \sqrt{x}} \) умножаем числитель и знаменатель на \( 1 + 2 \sqrt{x} \) — сопряжённое знаменателя, чтобы избавиться от корня.

Получаем:
\( \frac{(1 — 2 \sqrt{x} + 4x)(1 + 2 \sqrt{x})}{(1 — 2 \sqrt{x})(1 + 2 \sqrt{x})} = \frac{(1 — 2 \sqrt{x} + 4x)(1 + 2 \sqrt{x})}{1 — 4x} \).

Раскроем числитель:
\( 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \sqrt{x} — 2 \sqrt{x} \cdot 1 — 2 \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} + 4x \cdot 1 + 4x \cdot 2 \sqrt{x} \).

Упрощаем:
\( 1 + 2 \sqrt{x} — 2 \sqrt{x} — 4x + 4x + 8 x \sqrt{x} \).

Слагаемые \( 2 \sqrt{x} \) и \( -2 \sqrt{x} \), а также \( -4x \) и \( +4x \) сокращаются. Остаётся:
\( 1 + 8 x \sqrt{x} \).

Итог:
\( \frac{1 + 8 x \sqrt{x}}{1 — 4x} \).

г) Рассмотрим выражение \( \frac{a^2 b + 2 a \sqrt{b} + 4}{a \sqrt{b} + 2} \). Чтобы упростить, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя — \( a \sqrt{b} — 2 \).

Получаем:
\( \frac{(a^2 b + 2 a \sqrt{b} + 4)(a \sqrt{b} — 2)}{(a \sqrt{b} + 2)(a \sqrt{b} — 2)} = \frac{(a^2 b + 2 a \sqrt{b} + 4)(a \sqrt{b} — 2)}{a^2 b — 4} \).

Раскроем числитель:
\( a^2 b \cdot a \sqrt{b} — a^2 b \cdot 2 + 2 a \sqrt{b} \cdot a \sqrt{b} — 2 \cdot 2 a \sqrt{b} + 4 \cdot a \sqrt{b} — 4 \cdot 2 \).

Упрощаем:
\( a^3 b \sqrt{b} — 2 a^2 b + 2 a^2 b — 4 a \sqrt{b} + 4 a \sqrt{b} — 8 \).

Сокращаются \( — 2 a^2 b \) и \( + 2 a^2 b \), а также \( — 4 a \sqrt{b} \) и \( + 4 a \sqrt{b} \). Остаётся:
\( a^3 b \sqrt{b} — 8 \).

Итог:
\( \frac{a^3 b \sqrt{b} — 8}{a^2 b — 4} \).