ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 502 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в числителе дроби:
а) \(\frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{\sqrt{x}}\);
б) \(\frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}}\);
в) \(\frac{7 — \sqrt{a}}{49 — 7\sqrt{a} + a}\);
г) \(\frac{\sqrt{mn} + 1}{mn + \sqrt{mn} + 1}\).

\(а) \quad \frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{\left(\sqrt{x} — \sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} = \frac{x — y}{x + \sqrt{xy}} \)

\(б) \quad \frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}} = \frac{\left(a + \sqrt{b}\right)\left(a — \sqrt{b}\right)}{a\sqrt{b}\left(a — \sqrt{b}\right)} = \frac{a^2 — b}{a^2 \sqrt{b} — ab} \)

\(в) \quad \frac{7 — \sqrt{a}}{49 — 7\sqrt{a} + a} = \frac{\left(7 — \sqrt{a}\right)\left(7 + \sqrt{a}\right)}{\left(49 — 7\sqrt{a} + a\right)\left(7 + \sqrt{a}\right)} = \frac{49 — a}{343 + a\sqrt{a}} \)

\(г) \quad \frac{\sqrt{mn} + 1}{mn + \sqrt{mn} + 1} = \frac{\left(\sqrt{mn} + 1\right)\left(\sqrt{mn} — 1\right)}{\left(mn + \sqrt{mn} + 1\right)\left(\sqrt{mn} — 1\right)} = \frac{mn — 1}{mn \sqrt{mn} — 1} \)

а) Для упрощения выражения \(\frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{\sqrt{x}}\) первым шагом домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к числителю, то есть \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\). Это позволяет избавиться от разности корней в числителе, так как произведение двух сопряжённых выражений равно разности квадратов: \(\left(\sqrt{x} — \sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right) = x — y\). В знаменателе умножаем \(\sqrt{x}\) на \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\), получая \(\sqrt{x} \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\).

Таким образом, выражение преобразуется в \(\frac{x — y}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\). Поскольку \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\), знаменатель можно переписать как \(x + \sqrt{xy}\). Итоговое выражение принимает вид \(\frac{x — y}{x + \sqrt{xy}}\).

б) Рассмотрим дробь \(\frac{a + \sqrt{b}}{a \sqrt{b}}\). Чтобы упростить её, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к числителю выражение \(a — \sqrt{b}\). В числителе произведение двух сопряжённых выражений даёт разность квадратов: \(\left(a + \sqrt{b}\right)\left(a — \sqrt{b}\right) = a^2 — b\). В знаменателе умножаем \(a \sqrt{b}\) на \(a — \sqrt{b}\), получая \(a \sqrt{b} \left(a — \sqrt{b}\right)\).

После раскрытия знаменателя выражение принимает вид \(\frac{a^2 — b}{a^2 \sqrt{b} — a b}\), что и является упрощённой формой исходной дроби.

в) В выражении \(\frac{7 — \sqrt{a}}{49 — 7\sqrt{a} + a}\) для упрощения умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое числителю выражение \(7 + \sqrt{a}\). Произведение числителя становится разностью квадратов: \(\left(7 — \sqrt{a}\right)\left(7 + \sqrt{a}\right) = 49 — a\).

В знаменателе умножаем многочлен \(49 — 7\sqrt{a} + a\) на \(7 + \sqrt{a}\), что даёт выражение \(\left(49 — 7\sqrt{a} + a\right)\left(7 + \sqrt{a}\right)\). Раскрывая скобки, получаем \(343 + a \sqrt{a}\), что является знаменателем упрощённой дроби.

Итоговое выражение: \(\frac{49 — a}{343 + a \sqrt{a}}\).

г) Для дроби \(\frac{\sqrt{mn} + 1}{mn + \sqrt{mn} + 1}\) применяем тот же метод: домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое числителю выражение \(\sqrt{mn} — 1\). В числителе произведение даёт разность квадратов: \(\left(\sqrt{mn} + 1\right)\left(\sqrt{mn} — 1\right) = mn — 1\).

В знаменателе умножаем \(mn + \sqrt{mn} + 1\) на \(\sqrt{mn} — 1\), раскрывая скобки, получаем \(mn \sqrt{mn} — 1\). Таким образом, упрощённое выражение принимает вид \(\frac{mn — 1}{mn \sqrt{mn} — 1}\).