ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 503 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) \(\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}\);
б) \(\frac{1}{\sqrt{5} — \sqrt{3} + 2}\).

\( \text{а) } \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1} = \frac{1(\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1)}{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)(\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1)} = \)
\( = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 — 1} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1}{2 + 2\sqrt{6} + 3 — 1} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1}{4 + 2\sqrt{6}} = \)
\( = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1)(4 — 2\sqrt{6})}{(4 + 2\sqrt{6})(4 — 2\sqrt{6})} = \)
\( = \frac{4\sqrt{2} — 2\sqrt{2} \cdot 2 \cdot 3 + 4\sqrt{3} — 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot 3 — 4 + 2\sqrt{6}}{16 — 4 \cdot 6} = \)
\( = \frac{4\sqrt{2} — 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} — 6\sqrt{2} — 4 + 2\sqrt{6}}{16 — 24} = \frac{2\sqrt{6} — 2\sqrt{2} — 4}{-8} = \)
\( = \frac{2(\sqrt{6} — \sqrt{2} — 2)}{-8} = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2} — 2}{-4} = \frac{\sqrt{2} — \sqrt{6} + 2}{4} \)

\( \text{б) } \frac{1}{\sqrt{5} — \sqrt{3} + 2} = \frac{1(\sqrt{5} — \sqrt{3} — 2)}{(\sqrt{5} — \sqrt{3} + 2)(\sqrt{5} — \sqrt{3} — 2)} = \)
\( = \frac{\sqrt{5} — \sqrt{3} — 2}{(\sqrt{5} — \sqrt{3})^2 — 4} = \frac{\sqrt{5} — \sqrt{3} — 2}{5 — 2\sqrt{15} + 3 — 4} = \frac{\sqrt{5} — \sqrt{3} — 2}{4 — 2\sqrt{15}} = \)
\( = \frac{(\sqrt{5} — \sqrt{3} — 2)(4 + 2\sqrt{15})}{(4 — 2\sqrt{15})(4 + 2\sqrt{15})} = \)
\( = \frac{4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} — 4\sqrt{3} — 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{15} — 8 — 4\sqrt{15}}{16 — 4 \cdot 15} = \)
\( = \frac{4\sqrt{5} + 10\sqrt{3} — 4\sqrt{3} — 6\sqrt{5} — 8 — 4\sqrt{15}}{16 — 60} = \frac{6\sqrt{3} — 2\sqrt{5} — 8 — 4\sqrt{15}}{-44} = \)
\( = \frac{2(3\sqrt{3} — \sqrt{5} — 4 — 2\sqrt{15})}{-44} = \frac{3\sqrt{3} — \sqrt{5} — 4 — 2\sqrt{15}}{-22} = \frac{\sqrt{5} — 3\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{15}}{22} \)

а) Начинаем с выражения \( \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1} \). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к знаменателю, но в данном случае выбираем \( \sqrt{2} + \sqrt{3} — 1 \), так как это упростит знаменатель по формуле разности квадратов. Получаем:
\( \frac{1(\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1)}{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)(\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1)} \).

В знаменателе раскрываем скобки по формуле \( (a+b)(a-b) = a^2 — b^2 \), где \( a = \sqrt{2} + \sqrt{3} \), \( b = 1 \). Значит, знаменатель равен \( (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 — 1^2 \). Раскроем квадрат суммы:
\( (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6} \).
Отнимаем 1: \( 5 + 2\sqrt{6} — 1 = 4 + 2\sqrt{6} \).

Теперь числитель и знаменатель:
\( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1}{4 + 2\sqrt{6}} \). Чтобы упростить, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 4 — 2\sqrt{6} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
\( \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1)(4 — 2\sqrt{6})}{(4 + 2\sqrt{6})(4 — 2\sqrt{6})} \).

В знаменателе применяем формулу разности квадратов:
\( 4^2 — (2\sqrt{6})^2 = 16 — 4 \cdot 6 = 16 — 24 = -8 \).

В числителе раскрываем скобки:
\( 4\sqrt{2} — 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 4\sqrt{3} — 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} — 4 + 2\sqrt{6} \).
Упрощаем корни:
\( \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \),
\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).
Подставляем:
\( 4\sqrt{2} — 2 \cdot 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} — 2 \cdot 3\sqrt{2} — 4 + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{2} — 4\sqrt{3} +\) \(+ 4\sqrt{3} — 6\sqrt{2} — 4 + 2\sqrt{6} \).

Складываем подобные:
\( (4\sqrt{2} — 6\sqrt{2}) + (-4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) — 4 + 2\sqrt{6} = -2\sqrt{2} + 0 — 4 + 2\sqrt{6} \).

Итог:
\( \frac{2\sqrt{6} — 2\sqrt{2} — 4}{-8} \). Вынесем 2 из числителя:
\( \frac{2(\sqrt{6} — \sqrt{2} — 2)}{-8} = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2} — 2}{-4} \).

Перепишем с изменением знаков в числителе и знаменателе:
\( \frac{\sqrt{2} — \sqrt{6} + 2}{4} \).

б) Рассмотрим выражение \( \frac{1}{\sqrt{5} — \sqrt{3} + 2} \). Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{5} — \sqrt{3} — 2 \), чтобы получить разность квадратов в знаменателе:
\( \frac{1(\sqrt{5} — \sqrt{3} — 2)}{(\sqrt{5} — \sqrt{3} + 2)(\sqrt{5} — \sqrt{3} — 2)} \).

В знаменателе раскрываем по формуле:
\( (\sqrt{5} — \sqrt{3})^2 — 2^2 \).
Раскроем квадрат суммы:
\( (\sqrt{5} — \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 — 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 — 2\sqrt{15} + 3 = 8 — 2\sqrt{15} \).
Вычитаем \( 4 \):
\( 8 — 2\sqrt{15} — 4 = 4 — 2\sqrt{15} \).

Значит, знаменатель:
\( 4 — 2\sqrt{15} \).

Теперь умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 4 + 2\sqrt{15} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
\( \frac{(\sqrt{5} — \sqrt{3} — 2)(4 + 2\sqrt{15})}{(4 — 2\sqrt{15})(4 + 2\sqrt{15})} \).

В знаменателе формула разности квадратов:
\( 4^2 — (2\sqrt{15})^2 = 16 — 4 \cdot 15 = 16 — 60 = -44 \).

В числителе раскрываем скобки:
\( 4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} — 4\sqrt{3} — 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{15} — 8 — 4\sqrt{15} \).

Упрощаем корни:
\( \sqrt{5} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \),
\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \).

Подставляем:
\( 4\sqrt{5} + 10\sqrt{3} — 4\sqrt{3} — 6\sqrt{5} — 8 — 4\sqrt{15} \).

Группируем подобные:
\( (4\sqrt{5} — 6\sqrt{5}) + (10\sqrt{3} — 4\sqrt{3}) — 8 — 4\sqrt{15} = -2\sqrt{5} + 6\sqrt{3} — 8 — 4\sqrt{15} \).

Итог:
\( \frac{6\sqrt{3} — 2\sqrt{5} — 8 — 4\sqrt{15}}{-44} \). Вынесем 2:
\( \frac{2(3\sqrt{3} — \sqrt{5} — 4 — 2\sqrt{15})}{-44} = \frac{3\sqrt{3} — \sqrt{5} — 4 — 2\sqrt{15}}{-22} \).

Изменим знаки в числителе и знаменателе:
\( \frac{\sqrt{5} — 3\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{15}}{22} \).