ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 504 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) дробь \(\frac{\sqrt{x} — \sqrt{2}}{x — 2}\) принимает наибольшее значение?

Данная дробь примет наибольшее значение, если знаменатель будет равен 1.
\[
\frac{\sqrt{x} — \sqrt{2}}{x — 2} = \frac{\sqrt{x} — \sqrt{2}}{\left(\sqrt{x} — \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}.
\]
\[
\sqrt{x} + \sqrt{2} = 1
\]
\[
\sqrt{x} = 1 — \sqrt{2}, \quad \text{так как } 1 — \sqrt{2} < 0, \text{ значит,} \] \[ \sqrt{x} = 0 \] \[ x = 0. \] Ответ: при \(x = 0\).

Данная дробь примет наибольшее значение, если знаменатель будет равен 1.
Рассмотрим выражение:
\[
\frac{\sqrt{x} — \sqrt{2}}{x — 2}.
\]
Чтобы упростить его, заметим, что знаменатель \(x — 2\) можно представить в виде разности квадратов:
\[
x — 2 = \left(\sqrt{x}\right)^2 — \left(\sqrt{2}\right)^2 = \left(\sqrt{x} — \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right).
\]
Подставляя это в дробь, получаем:
\[
\frac{\sqrt{x} — \sqrt{2}}{\left(\sqrt{x} — \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{2}\right)}.
\]
Так как \(\sqrt{x} — \sqrt{2} \neq 0\), можно сократить числитель и часть знаменателя:
\[
= \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}.
\]
Таким образом, исходное выражение свелось к обратной величине суммы \(\sqrt{x} + \sqrt{2}\).

Для того чтобы дробь была максимальной, необходимо минимизировать знаменатель \( \sqrt{x} + \sqrt{2} \), так как дробь равна \( \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} \). Минимальное значение суммы достигается при минимальном значении \(\sqrt{x}\), учитывая, что \(\sqrt{2}\) — константа.

Рассмотрим уравнение:
\[
\sqrt{x} + \sqrt{2} = 1.
\]
Если это равенство выполняется, знаменатель будет равен 1, а дробь — максимальна, равна 1.

Перейдём к решению уравнения:
\[
\sqrt{x} = 1 — \sqrt{2}.
\]
Так как \(\sqrt{2} \approx 1.414\), то \(1 — \sqrt{2} < 0\). Поскольку корень квадратный не может быть отрицательным числом, равенство возможно только при: \[ \sqrt{x} = 0. \] Отсюда: \[ x = 0. \] Это единственное значение \(x\), при котором знаменатель равен 1, и дробь принимает максимальное значение. Ответ: при \(x = 0\).